円周率について語り合おう【π】

1132人目の素数さん2012/01/15(日) 12:53:56.58
lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π

207◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:52:59.47ID:9Y4dp9MH

208◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:53:23.37ID:9Y4dp9MH

209◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:53:41.54ID:9Y4dp9MH

210◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:54:00.15ID:9Y4dp9MH

211◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:54:18.08ID:9Y4dp9MH

212◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:54:33.52ID:9Y4dp9MH

213◆2VB8wsVUoo 2017/07/21(金) 12:54:48.94ID:9Y4dp9MH

214132人目の素数さん2017/07/22(土) 18:27:35.25ID:/2HBmVO8
22000000000/7002817497

215132人目の素数さん2017/07/30(日) 22:00:26.20ID:0bZ4ITcy
pi/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-12arctan(2/2513489)-22arctan(2/18280007883)

216132人目の素数さん2017/10/15(日) 07:04:24.63ID:tfHdpAF8
【朗報】VIPで円周率を求める新しい公式が発見される
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1507901598/

1名無しさん@涙目です。(やわらか銀行) [US]2017/10/13(金) 22:33:18.41ID:hbrxfHww0●?2BP(4276)

1以下、5ちゃんねるからVIPがお送りします2017/10/13(金) 11:51:52.144ID:5kNKFSV20
(69/163)+(9!/!9)=69/163+45360/16687=3.14159...

円周率を求める新しい公式を発見した
http://hebi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1507863112/

273名無しさん@涙目です。(やわらか銀行) [US]2017/10/15(日) 06:53:12.28ID:3dg2JiKr0
!nってのは完全順列(攪乱順列)の事であり、不完全ガンマ関数でΓ(n+1,-1)/eと等価である。
ガンマ関数Γ(n+1)と不完全ガンマ関数Γ(n+1,-1)の値は近似しており、よって
n!/!nの極限はe(ネイピア数)に収束する。
おそらく>>1の式は、ほとんど整数の163 (π − e) ≒ 69から求められていると思われる。
なお円周率に近い理由を証明するには楕円関数とかモジュラー関数とか高度な数学
を使用しないと証明できない

217132人目の素数さん2017/10/18(水) 15:55:23.82ID:Li2iz1Xu
>>17

640320^3 + 744 = 262537412640768744

e^(π√163)= 262537412640768743.99999999999925007259719818568887935

e^{(π√163)/3}= 640320.0000000006048637350490160394717418188185394757714857


高橋秀俊「"163"の不思議」
 数セミ、14巻、10号、日本評論社(1975/Oct)
 数セミ増刊「数の世界」p.157-161(1982/Sep)

218132人目の素数さん2017/10/18(水) 16:19:45.30ID:Li2iz1Xu
>>202

e+π+π = 9.0014671356386
e^π-π = 19.9990999791895
e^π+π+e = 29.0005671148281

e^6 - π^5 - π^4 = 0.000017673451232109

219◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:23:18.96ID:Dl6USvMt

220◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:23:42.54ID:Dl6USvMt

221◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:24:04.36ID:Dl6USvMt

222◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:24:20.97ID:Dl6USvMt

223◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:24:38.66ID:Dl6USvMt

224◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:24:54.68ID:Dl6USvMt

225◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:25:15.71ID:Dl6USvMt

226◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:25:33.79ID:Dl6USvMt

227◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:25:50.94ID:Dl6USvMt

228◆2VB8wsVUoo 2017/10/23(月) 22:26:08.27ID:Dl6USvMt

229132人目の素数さん2018/03/20(火) 19:16:15.45ID:OvKrixBQ
円周率が割りきれないのはきちんとしたからくりがあって
始発の数値と終着の数値を繋げる1ピースを数式にはめこむだけでいいのに
円の端と端をいくら近付けたところで
繋げるつもりがないなら何したって無駄

99を極限まで100に近付けても、100にするつもりがないなら99,999…にしかならないでしょ
円周率も同じで円にする1ピースをはめこむ意思がないと円周率は円にならないよ

粘土で線を作った場合、その線で円を作るためには線と端と端を近付けることではなく結合させること

230132人目の素数さん2018/10/08(月) 22:47:10.58ID:tkQNZLcI

231132人目の素数さん2018/10/08(月) 22:48:23.89ID:tkQNZLcI
age

232132人目の素数さん2018/10/08(月) 22:51:51.63ID:tkQNZLcI
【難問】0=π-πや1=π/πの式などを合成して次にあるπの式の誤差が無い事を証明せよ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/250px-Pi-unrolled-720.gif

233132人目の素数さん2018/11/21(水) 15:58:56.98ID:Se83NkLA
〔e とπの超対称性不等式〕
 π > 3 > e,
 (e+π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),

なぜeやπは様々な性質を持つのか? - 013, 017

234132人目の素数さん2018/11/23(金) 00:58:50.91ID:eRIDJVQi
>>233
(eππ)^(1/3) = 3 - 1/(50π),

π = 4(√6 - √2) - 1 = 3.141104722

235132人目の素数さん2018/11/23(金) 01:47:33.96ID:eRIDJVQi
>>202
 e^e - π/e = 13.99853489168834247185

236132人目の素数さん2018/11/24(土) 10:02:17.51ID:DyYQdzv6
>>1
なんで余弦で表示するんだ?
正弦を使えばもっと簡潔にひょうげんできるじゃん

Π(パイ)=lim[n→∞] n × sin(180° ÷ n)

237学術2018/11/24(土) 10:45:45.69ID:46wliNH3
円周率が固定観念になっちゃいけない、星や時代によって円周率は違うから。
全くの球体なんてないし、球自体が不思議な厳密にはそろわない図形なんだよね。

238132人目の素数さん2018/11/29(木) 05:33:52.39ID:s8t5vz+a
[eとπの微妙な関係]

(e^(10π)+744)/(2927+1323√5)^3 = 215.999999999999999999978…

(e^(20π)+744)/(2+9*(1201+537√5+5^(1/4)*(1607+719√5)/2)^2)^3
= 215.999999999999999999999999999999999999999999999988…

239132人目の素数さん2018/12/03(月) 17:02:04.45ID:2qcCYLB4
>>238

e^{(√163)π/3} = 640320 + 6.04863735049×10^{-10},

e^{(√163)π} = 640320^3 + 744 -7.499274028×10^{-13},

640320 = (2^6) 3・5・23・29,

「なぜeやπは様々な性質を持つのか?」 053-056

数セミ増刊「数の世界」日本評論社(1982)
 高橋秀俊「"163"の不思議」 p.157-161

240132人目の素数さん2018/12/06(木) 02:53:59.67ID:9xq/7gl/
>>239
 >>217にもある。

ついでに
π = (10 - 3/23)^{1/2} = 3.1415864
π = (10 -130/997)^{1/2} = 3.14159336
π = (31 + 1/159)^{1/3} = 3.14159308
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.14159265
π = (306 + 5/254)^{1/5} = 3.1415926541
π = [(31^2) + 374/(31^2)]^{1/6} = 3.141592645

「πって本当に無理数なの?」 - 171,172

241132人目の素数さん2018/12/07(金) 00:41:53.10ID:tc+suZZS
>>18
S = x + 2Σ[n=1,∞] sin(nx)/n
 = π (0<x<π)
 = -π (-π<x<0)

奇数項の和
S_o = 2Σ[m=0,∞] sin((2m+1)x)/(2m+1)
偶数項の和(n=0も含む)
S_e = x + 2Σ[m=1,∞] sin(2mx)/(2m),
は等しい。
 S_o = S_e = S/2,

ついでに
(π/4)|x| + Σ[m=0,∞] cos((2m+1)x)/(2m+1)^2 = ππ/8  (|x|<π)

242132人目の素数さん2018/12/07(金) 00:46:50.02ID:tc+suZZS
>>48
 x^4・(1-x)^4 /(1+xx) = x^6 -4x^5 +5x^4 -4x^2 +4 -4/(1+xx),
.
∫[0,1] x^4・(1-x)^4 /(1+xx) dx
 = [ (1/7)x^7 -(2/3)x^6 +x^5 -(4/3)x^3 +4x -4arctan(x) ](x=0,1)
 = 22/7 - π,
.
.
.
>>50
 x^4・(1-x)^8 /(1+xx) = x^10 -8x^9 +27x^8 -48x^7 +43x^6 -8x^5 -15x^4 +16x^2 -16 +16/(1+xx),
.
∫[0,1] (1/4)x^4・(1-x)^8 /(1+xx) dx
 = (1/4)[ (1/11)x^11 -(4/5)x^10 +3x^9 -6x^8 +(43/7)x^7 -(4/3)x^6 -3x^5 +(16/3)x^3 -16x +16arctan(x) ](x=0,1)
 = π - 2419/770,

243132人目の素数さん2018/12/07(金) 02:41:42.68ID:tc+suZZS
>>240

π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.1415926525
は大昔に S.Ramanujan が発見してますた。

他にも色々あります。
π= (63/25)[1 + 10/(7+15√5)] = 3.1415926538
π = (99^2)/(2206√2) = 3.141592730

244132人目の素数さん2018/12/08(土) 03:19:42.61ID:kzFR8YXJ
>>238 (上)

e^{10π/3} / (2927+1323√5) = 6 - 3.37940×10^{-11},

(e^{10π/3} + 248・e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.27627×10^{-23},

245132人目の素数さん2018/12/08(土) 05:01:35.80ID:kzFR8YXJ
(e^{2π√190} + 744) / (12+108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
 = 1 - 1.168664×10^{-70}

(e^{(2π√190)/3} + 248・e^{-2(2π√190)/3}) / (12+108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
 = 1 - 2.447924×10^{-72}

e^{2π√N} の N は 163, 190, 193, 232, 253 … と続くようです。

なぜeやπは様々な性質を持つのか? -061

246132人目の素数さん2018/12/09(日) 23:57:31.41ID:lKkuA1dc
>>245
e^(2π√N), N=190の場合に対応する
πの公式(厳密な式)を作ってみた

1/π = √(760*(1-(12/α)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(β+n)/((3n)!(n!)^3*α^(3n))
ここで
α=12+108*(1+√2)^12*(154+210√2+144√5+41√10)^2,
β=(852020366870471-395185702196000√2+75149192062748√5-84038529457275√10)/16925656058141292

この公式はn=0項目でπと32桁一致し、1項加えるごとに約35桁ずつ増える

247132人目の素数さん2018/12/10(月) 04:43:31.22ID:IsN+FPDR
>>238
(e^{10π/3} + 248・e^{-20π/3})/(2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},

(e^{20π/3} + 248・e^{-40π/3})/(2 +9[1201+537√5 +5^{1/4}・(1607+719√5)/2]^2) = 6 - 6.5828772×10^{-51}

>>239
 e^{(√163)π/3} -248・e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26}

248132人目の素数さん2018/12/12(水) 12:16:20.11ID:vdaLi+4H
πの公式(N=253):

1/π = 2√(253*(1-(12/a)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(b+n)/((3n)!(n!)^3*a^(3n))
ここで
a = 12+(27/16)*(3+√11)^10*(470530+117549√11+15*(9181+838√11)√23),
b = (135768074392841107-32707446943866240√11+1875*(-78714146177804+16717935852863*√11)/√23)/1818228027142880892

この公式は1項加えるごとに約40桁増える

249132人目の素数さん2018/12/13(木) 00:28:14.12ID:8xb6jpsD
πの公式(N=400):

1/π = 40√(1-(12/A)^3) Σ[n=0,∞] (6n)!*(B+n)/((3n)!(n!)^3*A^(3n))
ここで
A = (3/2)*(2+√5)^13*(869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)*(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10)),
B = (10/151706805578559)*(1480534452621+37543365334√2-169393026952√5-69939075619√10-2*5^(1/4)*(148486354235+7499787468√2+53215164243√5-1977920683√10))

この公式は1項足すごとに約52桁増加する
この性能はChudnovskyの公式よりも桁数/項数比で3.7倍大きい
しかし根号が多く含まれるので計算に向くかどうかは不明

250132人目の素数さん2018/12/24(月) 00:41:05.53ID:1GZAEKxs
>>248
定数aはもう少し簡単な形になって
a = 12+27*(9+2√23)*(191469+57730√11+7*(5688+1715√11)√23)^2
この因数分解は一意ではなくもっと簡単に表されるかもしれません

>>245
163と190の間に177があります
(e^(2π√177)+744)/((23+3√59)^5*(24587023+11657412√3+2634179√59+1851252√177)^3)
= 13500 - 6.56*10^(-64)

2から256までの整数のうちe^(2π√N)がほとんど整数または根号を含む有理数になるNは
少なくとも
{2から25までの整数,27,28,30から34までの整数,
36,37,39,40,42,43,45,46,48,49,52,55,57,58,
60,63,64,67,70,72,73,78,82,85,88,93,97,
100,102,112,130,133,142,148,163,177,190,193,232,253}

251132人目の素数さん2018/12/25(火) 00:47:24.42ID:F9g040cM
新しいπの公式見つけた(N=760):

1/π = 4√(190*(1-(12/p)^3)) Σ[n=0,∞] (6n)!*(q+n)/((3n)!(n!)^3*p^(3n))
ここで
p = 6*(2+√5)^15*(92210562874930+72942820661700√2+46133090462261√5+29159540310024√10+9*(2346786457760+1856794307075√2+1177625294626√5+744442212212√10)√19),
q = (38*(168850305099411513534741603514-65584148987153268032666270500√2+7540774496057908735892220904√5-17937625574963862951981217275√10)
-(453911230872051456086681856600-253947186186349584616653907250√2-22230644754209419107315374416√5+45689905770524967041148178125 √10)√19)/95410768893023153163385247146614

この公式はQ(√k,√l,√m)上の級数となるタイプで、1項あたり約72桁増加する

ちなみに (e^(4π√190)+744)/p^3 = 1 - 6.93*10^(-146)

この先は N=772, 793, 862, 928, 1012 と続くが、多くの場合多重根号が付くようです

252132人目の素数さん2019/01/07(月) 03:15:24.44ID:Bh/Ybtbb
α = (10 -π^2 -1/π^2)/4 = 0.0072686 = 1/137.578

253132人目の素数さん2019/01/14(月) 05:00:53.78ID:VbLIcfRT
祖沖之が錬金術師だったら

約率 (Ti)/(N)
密率 355/(Nh)

と言ったかも。
なお、355番元素は未発見。

254132人目の素数さん2019/01/14(月) 23:36:09.56ID:VbLIcfRT
>>18
フーリエ級数展開
 θ= -2Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(nθ)/n,  ( |θ| <π)
θ=π-1 とおいて 1 を移項すると
 π = 1 - 2Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(n(π-1))/n = 1 + 2Σ[n=1,∞] sin(n)/n ・・・ (1)
θ=π-2 とおいて 2 を移項すると
 π = 2 - 4Σ[n=1,∞] (-1)^n sin(n(π-2))/2n = 2 + 4Σ[n=1,∞] sin(2n)/2n ・・・・ (2)
2・(1) - (2) より
π = 4Σ[n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1),

255132人目の素数さん2019/01/15(火) 02:25:12.58ID:wvrflqTz
>>254
積分と和が一致する例
∫(0,∞) x^5/(e^(2πx)-1) dx = Σ[n=1,∞] n^5/(e^(2πn)-1) = 1/504 (ラマヌジャン)

256132人目の素数さん2019/01/15(火) 03:14:05.93ID:wvrflqTz
積分と和が一致する例のつづき

kを正の整数として
∫(0,∞) (sin x/x)^k dx = 1/2 + Σ[n=1,∞] (sin n/n)^k dx

aを√-1の整数倍でない数として
∫(-∞,∞) (sin√(x^2+a^2))/√(x^2+a^2) dx = Σ[n=-∞,∞] (sin√(n^2+a^2))/√(n^2+a^2) = π BesselJ(0,a)

257132人目の素数さん2019/01/15(火) 07:39:36.34ID:wvrflqTz
>>256
すまない、kは1≦k≦6<2πの整数に訂正し和のdxは要らない

等式の続き:
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)) dx = -1/(2π^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)) = -1/π,
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)(x^2-(3π)^2)) dx = 1/(2π^2(3π)^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)(n^2-(3π)^2)) = 1/(9π^3),
∫(0,∞) sin x/(x(x^2-π^2)(x^2-(3π)^2)(x^2-(5π)^2)) dx = -1/(2π^2(3π)^2(5π)^2) + Σ[n=1,∞] sin n/(n(n^2-π^2)(n^2-(3π)^2)(n^2-(5π)^2)) = -1/(225π^5),
……

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