あなたはだから、ハミルトニアンにeAが出てくる理由じゃなくて、運動量にeAが出てくる理由がモヤモヤするってことなんですよね？

ハミルトニアンはちゃんとニュートン力学でやったようにH=eφ+1/2*mv^2になってるじゃないですか

なので、ニュートン力学的に考えたいなら、pにeAが入ってるからそれを取り除くようにハミルトニアンにもeAが入ってると考えたらいいのではないかと思いました

後残ってるのはpにeAが入ってくる理由だけですね