そりゃ歴史的経緯からすりゃ当然素因数分解の一意性を意識してのことだろう。しかしそれは歴史的経緯であってそれ以上ではない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#%E6%AD%B4%E5%8F%B2
「群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。」
群の公理が代数方程式の研究を経て定められたとしても、群論は代数方程式だけ対象とした理論ではない。だからなぜ群の公理がそう定められたのかを問うても無意味なのである。個人の趣味として考えをめぐらせばいいだけの話。