横レス、スマソ。別にどちらのカタを持つというわけではないが
「1を素数に入れないのは、素因数分解の一意性を成立させるため」という説明は
しばしばなされるものと思う。たとえば　↓

平成 17 年日本数学会年会市民講演会 素数の翼に乗って　本橋 洋一
https://www.mathsoc.jp/publication/tushin/1001/motohashi.pdf
のP.9〜10あたり
"ここで、先にお約束しました「1 は素数ではない」と云うことの理由を示しておきましょ
う。余談になります。随分と以前ですが、飛行機に搭乗し自分の席に行きましたら、びしょび
しょで困惑。スチュワーデスさんに申し出ましたら、暫くしまして、こちらにどうぞ、とのこ
と。なんと、一等席。落ち着かない気持ちで研究発表の下調べをしていましたら、隣の紳士
が独逸訛の英語で「自分は物理学者であるが、貴殿は数学者か」「イエス」「何を専攻するの
であるか」「素数分布である」「素数について未だ知られぬことなどがあるのか」「極めて多量
に」「うむ、我に少年の頃より疑問あり」「何か」「1 は何故素数でないのか」「貴殿は篩法を
ご存知か」「イエス、ギムナジウムで聞いた」「では、彼の割り算を1 から始めたら如何なる
こととなるか」。やや間があり、「おお、Danke!」
正しくは、素因数分解の一意性を「成立させるため」と云う理由があるのですが、詳しい
ことは止めておきましょう。"