>>180
>>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
>これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
>下記 山上滋先生 名大 関数解析入門 『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
>Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
>ですね （＾＾

＜補足＞
1）Zorn補題は、選択公理と同値
2）Zorn補題（選択公理）で、通常のベクトル空間(基底の有限和)から
　基底の無限個のベクトルの線形結合を使う ヒルベルト空間まで
　その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
3）『全然一意的ではないが』 by 山上滋先生 名大
　存在のみのZorn補題（選択公理）で、言える
4）その存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
　同様に、例えば、ヒルベルト空間で ある特別な基底候補を使いたいとき
　まず、上記 命題4.5 に照らしてみれば良い
　そうすれば、その基底候補が、実際に基底として使えることが分る
　フーリエ級数が、典型例>>160

"Zorn補題（選択公理）は、存在しか言えないから 具体的なこと言えない"と思った あなた それ勘違いですよ
存在の公理（定理）だから、適用範囲が広い
そして、ある空間の 基底の存在定理、次元定理から 具体的な 基底候補が、実際の基底として採用できることが分る