ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:43:33.16

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/
前スレガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

このスレは、ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレです
関連は、だいたい何でもありです（現代ガロア理論＆乗数イデアル関連他文学論・囲碁将棋まであります）

資料としては、まずはこれ
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/
ガロアの第一論文を読む
渡部一己著（2018.1.28）
PDF
https://sites.google.com/site/galois1811to1832/galois-1.pdf?attredirects=0

＜乗数イデアル関連＞
ガロア第一論文及びその関連の資料スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615510393/785 以降ご参照
https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_ideal Multiplier ideal
https://mathoverflow.net/questions/142937/motivation-for-multiplier-ideal-sheaves motivation for multiplier ideal sheaves asked Sep 23, 2013 Koushik

＜層について＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層 (数学)
https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
Sheaf (mathematics)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Faisceau_(math%C3%A9matiques)
Faisceau (mathématiques)

あと、テンプレ順次

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:44:06.57

つづき

メモ
https://www.iwanami.co.jp/book/b374907.html
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

https://www.iwanami.co.jp//images/book/374907.jpg

著者金　重明著
刊行日 2018/09/21

試し読み
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0296770.pdf

この本の内容
決闘の前夜，ガロアが手にしていた第1論文．方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は，まさに時代を超越するものだった．置換の定式化にはじまり，ガロア群，正規部分群の発見をへて，方程式が代数的に解ける条件の証明へ．簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois01.html
ガロア理論 Galois theory

第一論文
ガロアの第一論文は、「方程式が代数的に解けるための必要十分条件」を【原理】と【応用】で論じている。
ここでは【原理】の部分を確認する。1831年当時「群」・「体」の用語がなく、ガロアは「群」・「体」という言葉は使わなかったが、ここでは「群」・「体」という用語を使って説明する。

概要
第一論文は、
・定義（可約と既約）
・定義（置換群）
・補題１（既約多項式の性質）→補題２（根でつくるV）→補題３（Ｖで根を表す）→補題４（Ｖの共役）
・定理１（「方程式のガロア群」の定義）
・定理２（「方程式のガロア群」の縮小）
・定理３（補助方程式のすべての根を添加）
・定理４（縮小したガロア群の性質）
・定理５（方程式が代数的に解ける必要十分条件）
というストーリーで進みます。

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois02.html
ガロア理論 Galois theory

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:44:24.22

つづき

メモ（デデキントのガロア理論講義の話が興味深い）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/15/4/15_4_159/_pdf
ガロア理論の推移史について
中村幸四郎*
科学基礎論研究1982

この論文は多くの後継者を経て,後に「ガロア理論」
といわれ,数学理論のうちの理論ともいわれるものとな
り,現代に及んでいることは周知のとおりであるが,私
はこの小文において,これがフランス数学からドイツ数
学へ移行する問題を,数学史の1つの問題として考察し
ょうと思う。
2.現在行われている「ガロア理論」は約150年の歳月
を経て,ガロアの原著とは著しく変ったものとなってい
る.その最も著しい点はガロアの原著が群(とくに有限
群)を基調とするものであるのに対比して,現代の理論
は体(Korper)の理論,特に体の「拡大」(Erweiterung)
を基礎に置くものとなっている。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E6%9D%91%E5%B9%B8%E5%9B%9B%E9%83%8E
中村幸四郎（1901年6月6日 - 1986年9月28日）は、日本の数学者（数学基礎論・数学史）。大阪大学名誉教授、関西学院大学名誉教授、兵庫医科大学名誉教授、文学博士。従四位勲三等旭日中綬章

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年)
ガロア理論とその発展玉川安騎男

環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。
より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。

グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:44:41.41

つづき

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/1/34_1_1/_pdf/-char/en
論説数学 (1981年9月14日提出)*1981年4月5日京都大学における第9回日本数学会彌永賞受賞講演
ソリトン方程式とKac-Moodyリー環柏原正樹*神保道夫伊達悦朗三輪哲二
§1.序
代数方程式の研究に,解の変換群の概念を導入し,その有効性を示したのはGaloisである.こ
のGaloisの視点を,微分方程式に適用する試みの中から,リー群,リー環の概念は生まれた.線
型微分方程式を,この立場で研究するものとして,Picard-Vessiot理論があり,そこに現われる群
は,有限次元Lie群である.有限次元半単純リー環の研究における, Cartan行列を基礎におく理
論構成を一般化して,Kac-Moobyリー環と呼ばれる,無限次元リー環の概念が生まれた([IY 38],
[IY 68],[40])1).ほぼ同じ頃,ソリトン理論が,その姿を現わしつつあった.ソリトン理論にあら
われる非線型方程式(以下,ソリトン方程式と呼ぶ)は,線型方程式系の可積分条件として表わされ
るという側面をもつ.本稿では,ソリトン方程式の解の変換群を考察し,ある種のソリトン方程式
の変換群のリー環として,Euclid型リー環と呼ばれるKac-Moodyリー環が現われることを示す.

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/hokoku.html
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~fujino/non-vani-rims.pdf
消滅定理と非消滅定理
京都大学藤野修数理研講究録, 1745,(2011)
このノートでは、対数的標準対に対する消滅定理と非消滅定理を解説する。我々の新しいアプローチは、対数的標準対に対する極小モデル理論の基本定理たちの証明を著しく簡略化する

目次
1消滅定理と非消滅定理ってなに？
2 2はじめに3
3おわび4
4特異点の定義5
5非消滅定理7
以下略

参考文献
[BCHM] C.Birkar, P.Cascini, C.Hacon, J.McKernan, Existence of minimalmodelsforvarietiesofloggeneraltype,preprint(2006).
[藤1]藤野　修,極小モデル理論の新展開,雑誌「数学」61巻2号,162186(2009).

1消滅定理と非消滅定理ってなに？
今ここを読んでいる人は、せめてこの章だけは読んで欲しい。
この章は高次元代数多様体論普及のための解説である。非専門家向けに書いてある。
以下すべて複素数体上で考える。
Xを非特異射影代数多様体とし、DをX上のカルティエ因子とする。典型的な消滅定理は、
略
代数幾何学を学んだことのある人なら誰でも、リーマン面（もしくは代数曲線）上でリーマン–ロッホの公式をつかって線形系の性質を調べるという話を勉強したことがあると思う。
我々はその話の単純な高次元化を考えていると言っても良いかもしれない。

スタックもファンクターも導来圏もあまり目にしない古典的な分野である。

次の章からは通常の解説記事である。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:47:09.12

つづき

2はじめに
このノートでは、最近得られた対数的標準対に対する非消滅定理を解説する。この非消滅定理は、対数的標準対に対する固定点自由化定理と同値であることが示される。
今回の非消滅定理の一番のポイントは、その定式化である。
数学的な内容は固定点自由化定理と同値であるが、非消滅定理として正しく定式化することにより、極小モデル理論の基本定理たちの証明に劇的な簡略化をもたらした

3おわび
80年代前半から現在にいたるまで、極小モデル理論研究の最も重要でよく使われるテクニックは川又–Viehweg消滅定理である。80年代後半から、乗数イデアル層の考え方が持ち込まれ、Nadel型の消滅定理をつかうことも非常に有効であることが分かって来た。いずれにせよ、すべて川又–Viehweg消滅定理の応用として扱うことが出来る話である。今回の一連の発展は、その川又–Viehweg消滅定理の部分を一般化し、新しい道具で極小モデル理論を考え直した、ということである。
ここ数年いろいろと迷走してしまったが、[F7]で古典的な川又のX-論法と乗数イデアル層の理論をミックスした新しい極小モデル理論の基礎と基本的なテクニックを提供することで、今後数十年間の極小モデル理論の土台は完成したと思う。一言で言うと、極小モデル理論の基礎部分が純ホッジ構造の話から混合ホッジ構造に移り変わった、である。興味を持たれた読者は、[F3]、[F4]、[F6]（いずれも短い）を読むことを勧める

4特異点の定義
ここでは特異点の定義について最低限のことだけを述べておく。詳しくは、[K森,§2.3]を見ていただきたい。極小モデル理論の専門家以外には頭の痛くなる話題であろう。

5非消滅定理
以下の定理がこの章の主定理である。対数的標準対に対する非消滅定理である。

7証明のアイデア
ここでは非消滅定理の証明のアイデアについて説明する。

8今後の課題
今回の仕事で、[K森]の2章の後半と3章が完全に一般化されたことになる。
道具である消滅定理が[K森]よりも格段に進歩しているからである。

9勉強の仕方
消滅定理は[F3]がお勧めである。[K森]の消滅定理の証明と全く同じ書き方で書いてある。次に[F6]を読めば極小モデル理論の基本定理（非消滅定理、固定点自由化定理、有理性定理、錐定理）が簡単に学べる。ある意味[K森]の3章より簡単である。消滅定理が強力になったので、川又によるX-論法（広中の特異点解消定理をつかって係数を揺するという有名なテクニック）は不要になったのである。基本定理の証明の途中では広中の特異点解消定理すら必要としなくなったのである。Ambro氏のquasi-logvarietiesの理論に興味がある人には、[F4]をお勧めする。理論の本質的な部分は[F4]で全部理解出来るはずである。技術的な細部まで理解しようとすると、[F5]を読まないと仕方ないであろう。著者の私が言うのもなんだが、[F5]を読むのは大変だと思う。技術的細部に拘りまくったからである。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:47:36.28

つづき

10おまけ：個人的な考え
ここでは、80年代から現在にいたるまで極小モデル理論で重要な位置を占めているX-論法と、最近の新しい議論について個人的な意見を少し書いてみたい。通常の論文などには書かない個人的な印象である。あくまで私の考えである。X-論法の最もすばらしい点は、その強力さにあると思う。広中の特異点解消定理と係数を揺するという小細工をつかうことにより、様々な結果を川又–Viehweg消滅定理の応用として示すことが出来るのである。

最後に少しネタをばらしておく。[F1]と[F2]で対数的標準対に対する評価付きの固定点自由性の問題を扱った。これらは川又対数的末端対に対する結果の完全な焼き直しである。数学的には大した結果ではないと思う。[F1]と[F2]はKoll´ar氏やAngehrn氏とSiu氏の議論の手直しに過ぎない。ただし、[F1]と[F2]での試行錯誤が今回の[F6]につながったので、そういう意味では[F1]と[F2]は私にとっては非常に価値があった。結局のところ、やっぱりいろいろやってみないとダメだな、と改めて思った。以上。

藤野修先生は、令和５年大阪科学賞を受賞されています
おめでとうございます

(参考)
//osaka-prize.ostec.or.jp/41-1
第４１回（令和５年度）
大阪科学賞（OSAKA SCIENCE PRIZE）受賞者の横顔
藤野　修　４９歳

研究業績：小平消滅定理の一般化と代数幾何学への応用
代数多様体とは、大雑把に言うと、有限個の多項式の共通零点集合のことです。高校の教科書に出てくる円、楕円、放物線などは代数多様体です。
もっと簡単な平面上の直線も代数多様体です。高校では主にxy平面上で幾何学図形を考えます。これは二次元の空間内で一次元の代数多様体を考えることに対応します。xyz空間の中の球面も代数多様体です。これは三次元空間内の二次元の代数多様体です。
このように代数多様体は素朴な幾何学的対象です。ここで変数の数を増やしてみましょう。幾何学的には高次元の空間を考えることになります。高次元の空間内で複数の代数多様体の交わりを考えます。私たちはこのような幾何学図形を日々研究しています。
日本人フィールズ賞受賞者３名の仕事も高次元代数多様体に関するものです。
残念ながら高次元の代数多様体は絵に描くことができません。
そこで私たちは抽象的な数学理論を展開します。高次元代数多様体論の究極目標の一つは双有理分類という大雑把な分類を完成させることです。
現在の標準理論は、森重文によって1980年代に創められた森理論や極小モデル理論と呼ばれるものです。
私は小平の消滅定理と呼ばれるコホモロジーの消滅定理の一般化を確立し、広中の特異点解消と小平消滅定理の一般化を駆使して森理論の適用範囲を究極的に拡張するという仕事をしました。
ホッジ理論的な観点からは理論の混合化を実行したことになります。
これにより、従来不可能であったぐちゃぐちゃに潰れた高次元代数多様体の研究も可能になり、代数多様体の退化や特異点の研究などに応用されています。
このような基礎研究が実社会で応用される日が来ることを夢見ています。

代数多様体とは？

代数多様体の双有理分類
すでに述べましたが、代数多様体論の究極目標の一つは、代数多様体を双有理的に分類することです。

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:48:01.67

つづき

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。
(引用終り)
以上

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊）（Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論昭和で分からず令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり～！（＾＾；

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:49:48.41

つづき

再録します。おサルの傷口に塩ですｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683585829/508
2023/06/11(日)
下記だねｗ(>>63再録)
スレ主です
数学科オチコボレのサルさんｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
線形代数が分かっていないのは、あなた！ｗｗｗ
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/557
傷口に塩を塗って欲しいらしいなｗ
　>>406-407より以下再録
棚から牡丹餅というかｗ

つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返しておかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いてケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』

＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
　最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
　（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返しておかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
　”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
　「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いてケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
　は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
　アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
　ゆかいゆかい！ｗｗ

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:50:14.05

つづき

あほサルの続き

さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
笑えるよ
>>684-686 >>689
(引用開始)
正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎関係を与え、
∈に関する整礎帰納法である”∈-induction”の適用を可能とする
全順序とか余計な一言を書いたせいで大恥かいたな　高卒童貞

正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない。
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
>正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
>ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎な全順序関係を与え
は大間違い
>また…推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。
　ヌォォォォ
　すまん・・・OTL
　工学部卒の自己愛童貞と違うので土下座で謝罪
(引用終り)
オレは、ここの次スレを立てることはしないが
自分の立てたスレが、数学板に3つある
おサルさんの学力顕彰のために、3つスレで次回のスレ立ての
テンプレに入れるよ。そして、眺めてニヤリと笑うことにしよう
『正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない』
か。妄言である！数学科オチコボレさんだってねｗガッハハｗｗ
(引用終り)

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 08:50:38.73

つづき

・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・となり
　0＜1＜2＜3＜・・・となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ；ｐ）
以上

あと
＜乗数イデアル関連（含む層）＞の話や
文学論、囲碁の話もあります
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ

テンプレは、以上です

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 11:09:54.71

>>10
{}∈{{{}}} は偽
{{{}}}の元は{{}}のみだから
分からなければ中学数学からやり直そう

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 11:15:30.20

>>10
>列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
>{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・として、整列集合と考えることができる
大間違い
整列順序どころかそもそも順序でない
なぜなら {}∈{{{}}} は偽のため順序の要件である推移律を満たさないから
定義を確認せず独りよがりに妄想するから間違える

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 17:52:58.97

alg-d 壱大整域氏
動画解説
”【順序数入門3】順序数を使った証明の例：Zornの補題”
貼ります

alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理
選択公理
お知らせ
このページの内容が紙の本になりました。Amazonで購入できます。
選択公理: 同値な命題とその証明
選択公理と同値な命題一覧
選択公理と同値な命題とその証明動画版(AC⇒Zornのみ)

youtu.be/Lg5pPZlSHfw?t=1
【順序数入門3】順序数を使った証明の例：Zornの補題
alg-d
2,846 回視聴 2023/04/30

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 17:57:40.68

前スレ再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/907
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)

これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を導入しているんだ
で、写像 g の全単射を言う
なるほどね

そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分（不可能の証明は難しいのでいまは深入りしないことに）

(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，￢|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．

α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．

よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは￢|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．

よってこれによりXを整列する事ができる．

(2 ⇒ 3)略す

(3 ⇒ 1)略す

おまけ
(2⇒1)略す

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 18:17:16.93

前スレより再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/913
alg-d 壱大整域氏 >>907の
証明 (1 ⇒ 2) の本質は
Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に選択公理の選択関数を適用すると
それが如何なる選択関数を採用したとしても
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”
なる g を導入して
　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
の全単射写像 g が構成できる
順序数と Xとの全単射が構成できるということは、
即ち Xに整列順序が導入できたということ
(引用終り)

簡単に補足する
いま、ミニモデルで集合X={a,b,c,d}を考える
冪集合を作る
P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
となる
説明すると、最初にX 自身 4元の集合があり
次に、X から元が一つ減った 3元の集合があり
次に、X から元が二つ減った 2元の集合があり
次に、X から元が三つ減った 1元の集合があり
最後に元が無くなった空集合がある

で、Xから任意の元を取った集合、必ず 3元の集合が存在し
そのある3元の集合から任意の元を取った集合、必ず 2元の集合が存在し
そのある2元の集合から任意の元を取った集合、必ず 1元の集合が存在し
という構造を、べき集合が有している

そのべき集合の構造をうまく使ったのが >>14の alg-d 壱大整域氏の証明だと
いうことです

繰り返すが、上記有限の集合で例示したのと同じことを
順序数をうまく使うことで、無限集合に拡張し適用したってことでね

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 18:28:06.07

>>14
>なる g を導入しているんだ
>で、写像 g の全単射を言う
>なるほどね
いやそれ、Jechの証明のaα、つまりAの元への順序数による附番と同じことを違う言い方で言ってるだけだから
君Jechの証明を全然分かってなかったんだね

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 18:30:23.45

>>14
で、以下はいつ答えるの？
まさか分かってないのに分かってるふりしてたの？

（引用開始）
>順序数は、整列順序であるから
>Aに整列順序が導入できた
順序数の通常の大小関係が整列順序だとなぜAに整列順序が導入できたことになるか分かる？
（引用終了）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 18:32:42.59

>>15
>簡単に補足する
分かってない人が補足しなくていいから

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 18:38:36.98

>>15
>で、Xから任意の元を取った集合、必ず 3元の集合が存在し
>そのある3元の集合から任意の元を取った集合、必ず 2元の集合が存在し
>そのある2元の集合から任意の元を取った集合、必ず 1元の集合が存在し
>という構造を、べき集合が有している
自明。
Xの冪集合とはXの部分集合全体の集合なんだから。構造を有するもクソも無い。
ナンセンスな補足は不要。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 18:48:52.64

>>15
どうでもいいけど、旧スレまだ残ってんのに逃げるように新スレに投稿すんのやめない？

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 19:16:52.70

>>15 さらに補足

この説明で分るように
X から最初に選ぶ元
その残りから次に選ぶ元
その残りから次に選ぶ元
　・
　・
　・
全部、任意で良い
Xの元をすきな順番に整列できる
ということです

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 19:43:17.85

>>21
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。

>X から最初に選ぶ元
>その残りから次に選ぶ元
>その残りから次に選ぶ元
>　・
>　・
>　・
>全部、任意で良い
だから選択関数は存在さえすれば任意でよい。
君はまだ任意じゃダメな反例から逃げ続けているが。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 19:46:02.58

>>15 さらに補足

例えば
集合Xについて有限ミニモデルで示したが
{a,b,c,d}⊃{a,c,d}⊃{a,d}⊃{d}
という包含関係があり
そこから Xの元の整列で
b1 < c2 < a3 < d4
という順序数の付番ができて、順序数の整列順序が集合Xに入る

同様に
X＼{g(β)|β<α} も同じで
X⊃X＼{x1}⊃X＼{x1,x2}⊃・・⊃X＼{x1,x2,・・,xβ-1}⊃X＼{x1,x2,・・,xβ}⊃X＼{x1,x2,・・,xβ+1},・・
という包含関係があり
そこから Xの元の整列で
x1,x2,・・,xβ-1,xβ,xβ+1,・・
という順序数の付番ができて、順序数の整列順序が集合Xに入る

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 20:01:06.36

>>23
足し算が分かった小学生みたいにはしゃぐなよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 20:05:16.59

>>23
はしゃぎたい気持ちは分かるが>>17にはいつ答えるの？
これに答えないと分かったとは言えないぞ　はしゃぐのはまだ早い

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/01(土) 20:06:10.67

”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』の前に
　Zornの補題をやります；ｐ）

まず、ここから
(参考)>>14より再録
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/01(土) 20:06:52.68

あと任意の選択関数ではダメな命題の例を早く答えてね

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 11:23:54.05

>>22
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

＜反証＞
1）選択公理（選択関数）と整列可能定理が同値であることを認めるとする
2）集合Xについて、整列可能定理を適用する
　Xから好きな元x1∈Xを取り出す。残り X':=X＼ {x1}
　X'から好きな元x2∈X'を取り出す。残り X'':=X'＼ {x2}
　すきなだけ繰り返す。その後に残ったものに整列可能定理を適用する
3）さて、上記2）でそもそも整列可能定理とは
　最後が空集合になるまで繰り返して良いとするものだった
　なので、整列可能定理における ”お好きなように”は、選択公理（選択関数）でも同じ
4）実際、下記 alg-d 壱大整域整列可能定理 ⇒ 選択公理（選択関数）の証明で
　”整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である”
　とあるが、和集合 ∪_{λ∈Λ}X_λ の整列を好きにして良いならば、
　f(λ) := (X_λの最小元) も好きにできる。つまり、f 選択関数も好きにできる■

余談だが、”Take your choice”（好きなものを取りなさい）goo辞書 dictionary.goo.ne.jp/word/en/Take+your+choice./
choice には、お好きなようにという意味がある

なお、存在のみで具体的でない場合も可
例えば、実数Rの整列では、分るところのみをお好みにして、残りの不明部分は存在のみの公理任せも可！ｗ；ｐ）
公理なんだものｗｗ

(参考)（原サイトの方が見やすいよ）>>14より
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 12:17:37.87

>>28
>2）集合Xについて、整列可能定理を適用する
>　Xから好きな元x1∈Xを取り出す。残り X':=X＼ {x1}
>　X'から好きな元x2∈X'を取り出す。残り X'':=X'＼ {x2}
>　すきなだけ繰り返す。
無意味。
なぜなら「好きな元を取り出す」は有限回しか許されないので、ほとんどすべての元の取り出しは選択関数に支配されているから。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 12:17:56.69

>その後に残ったものに整列可能定理を適用する
整列定理は整列順序の存在しか主張していない。「好きな順序で整列できる」は妄想。

>3）さて、上記2）でそもそも整列可能定理とは
>　最後が空集合になるまで繰り返して良いとするものだった
整列定理の証明において元に対する順序数による附番aαを再帰的に定義している。
このaαの定義で選択関数を使っている。だからこの附番のしかたは選択関数で一意に定まる。
「勝手な附番を無限回繰り返して良い」は妄想。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 12:18:43.54

>　なので、整列可能定理における ”お好きなように”は、選択公理（選択関数）でも同じ
意味不明。なにその”お好きなように”って？
おまえは自分の主張すらまともに書けないのでエスパーすると as desired を誤読してるだけ。望み通り整列順序が得られるという意味だ。中学英語からやり直せ。

>余談だが、”Take your choice”（好きなものを取りなさい）goo辞書
>choice には、お好きなようにという意味がある
「選択公理 axiom of choice：好き勝手に選択してよい」という連想ゲームは不成立。
君、連想ゲーム好きやね。だから間違える。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 12:18:58.03

>なお、存在のみで具体的でない場合も可
>例えば、実数Rの整列では、分るところのみをお好みにして、残りの不明部分は存在のみの公理任せも可！ｗ；ｐ）
上に書いた通り無意味。

>＜反証＞
以上、なんの反証にもなっていない。残念！

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 12:26:08.50

>>28
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

典型的な、大学数学オチコボレさんのパターンか？；ｐ）
下記ですね
下記の謎の数学者氏いま阪大の数学科准教授だが
彼のいうＭＭ mathematical maturity 数学的成熟度が、低いね

30年前数学科修士卒であれから30年でこれかい？
”選択関数”の理解が上滑りだよ

だから、箱入り無数目で御大が指摘する数学の事項が
全く理解できないんだよね、あなたは！ｗｗｗ

誤解・無理解の選択公理（選択関数）で、ワーワー主張するけど、
その殆どが、大外しだよｗｗ；ｐ）

(参考)
youtu.be/78os69XZrSk?t=1
大学に入ったら数学が突然難しくなる理由。日本の数学科の問題点。

謎の数学者
2021/04/06 #数学者への道

文字起こし
0:00
はいみなさんこんにちは数学者です
0:04
えっと今回はですねこういう話をしていこうかなと思うんですね
大学に入って数学ができなくなる理由ということなんですけれどコレですねあの皆さん
経験した方あるかもしれないですけれどやはりですねあの大学に入って突然ですね数学が
できなくなるということがですね結構あるんですね

2:12
極限の厳密な定義というやつですよねエプシロンでルターによるですねえまあ極限や
微分の厳密な定義
そういった
ことを習ってさらにですねいわゆる線形代数と呼ばれているやつですね

2:40
実は
学部自体は日本だったんですけれど数学科ではなかったんですね私
学部時代機械工学を
専攻したんですけれどそれでもですね大学に入って1年目でどういう授業どういう数学
の授業を取らされたかというとやはりここにあるようなイプシロンデルタとか線形
代数そういったところからですね入っていったんですね
ところがですねやはりこれは
私の考えではいきなりですねあのこういう
ところから入るというのはちょっとですね難しいんですねとりわけつの日本の標準的な
あのすぐ高校の数学のカリキュラム
そういったものを終えたばかりで突然ですね大学に入ってイプシロンデルタ法や線形
代数というのは多少ですねちょっと多少どころじゃないかもしれない
ちょっと急激に難しくなりすぎてるんですねつまりこれゲームバランスが崩壊している
というやつなんです

いわゆる数学的成熟度 mathematical maturity と書きますけれど

4:02
日本のですね大学受験を
突破したその時点での標準的ないわゆる数学的成熟 mathematical maturity
ではですねこういったところはなかなか太刀打ちできないんですね
単純にレベルが足りないんですドラクエで言えばですねまぁ突然ゲームが難しくなると

7:17
私のこの数学の学び方というシリーズで
今のところですねいろいろお話してますのでまだ見てない方はですね
動画説明欄にリンクが貼ってありますので見ていただきたいんですけれど

10:11
あの今回はこれで終わります

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 12:50:50.69

>>33補足
>>28
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

赤摂也貼っておきます
『整列可能定理とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る』

これですきな順番に → 適当に関係≦を定義して
と書き換えれば、赤摂也の整列可能定理になる

”すきな順番に”が、不適当でない限り
整列可能定理の射程内ですよ；ｐ）

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_article/-char/ja/
科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号/書誌
選択公理をめぐって
赤摂也 1961 年 5 巻 3 号 p. 103-108

www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_pdf/-char/en
選択公理をめぐって赤摂也科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号

順序集合は
(6) 空でないいかなる部分順序集合.最小元を持つという条件をみたすとき,整列集合といわれる.
整列可能定理とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る.
(A),(Z),(W)の同等性の証明については, たとえば拙文〔1〕を見ていただきたい.

(余談ですが貼ります)
定理4(Sierpiｎski)一般連続体仮設は選択公理を含意する.

[1]
文献 S. Seki ; On transfinite inferences, Comm. Math. Univ. Sancti Pauli, IV, 1955

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 13:04:12.63

>>33
>彼のいうＭＭ mathematical maturity 数学的成熟度が、低いね
君の独善持論「好きな順序で整列できる」は間違いだから成熟度以前。

>”選択関数”の理解が上滑りだよ
君は上滑り以前に理解できていない。

>だから、箱入り無数目で御大が指摘する数学の事項が
>全く理解できないんだよね、あなたは！ｗｗｗ
たった2ページの記事も読めない耄碌爺が何を指摘したと？

>誤解・無理解の選択公理（選択関数）で、ワーワー主張するけど、
>その殆どが、大外しだよｗｗ；ｐ）
「"as desired"って書かれてるから好きなように整列できる」とか言ってる君がね。
それ、誤解・無理解にもとづく誤読ね。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 13:24:16.38

>>34
>『整列可能定理とは, 次の命題のことに他ならない.
>(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る』
>これですきな順番に → 適当に関係≦を定義して
>と書き換えれば、赤摂也の整列可能定理になる
論理記号で書けば∀≦ではなく∃≦だから、その書き換えは大間違い。
∀と∃を取り違えるようでは大学一年の4月に落ちこぼれたのも当然の結果。

>”すきな順番に”が、不適当でない限り
>整列可能定理の射程内ですよ；ｐ）
どんな順番が不適当なの？

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 18:25:21.05

>>34 補足

下記のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）

直感的には、>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }

これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）

それを、ZFCの証明として書くと下記です
繰り返すが、上記の例示を任意無限集合で ZFCの証明として書くと下記

(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36　整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
　ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
　A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体をｍとする（図1）。すなわち
略す
　【ツォルンの補題】 [1] によって（ｍ,ρ）には極大元（W0,O0）が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略

参考文献
　1) 「ツォルンの補題」
　2) 松坂和夫　数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
　3) 「整列集合における補題」
　4) 「順序集合」
　5) 「選択公理」
　6) 「整列集合の比較定理」
　7) 「集合の濃度」

（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 18:42:11.22

コピペが趣味なんですか？　楽しいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:10:24.71

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/949
>>21
>Xの元をすきな順番に整列できる

P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね
ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど

>>33
>>順番は選択関数で一意に定まる。
> 典型的な、大学数学オチコボレさんか？

◆yH25M02vWFhP がな

まさか自分が大学数学理解できてるとうぬぼれてる？

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 19:15:00.51

>>37
ふっふ、ほっほ

コピペは、シールド盾
突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）

特に、大学のテキストPDFのシールドにたまに突っ込む人ありｗ
岩に突撃するが如しｗｗ

たまに大学教授で、講義で選択公理を教えていたと宣う人に
楯突くとか・・も、完全に倒錯ですねｗ；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89
シールド
shield
英語で盾の事

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:24:14.73

>>40
>突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）
君自身がコピペした内容理解してないから無意味
君、Jechの証明理解してないじゃん

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 19:26:13.17

>>39
(引用開始)
>Xの元をすきな順番に整列できる
P(X)-{φ}からその要素を選択する選択関数をどう決めるか次第でね
ただ選択関数を決めてしまったら順番は一意だけど
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）選択関数の一意性を主張するような論文、テキスト（教科書）、解説は皆無
2）自分で、『固定』！とか宣言しない限り
　”一意性”は、実現できない
3）つまり、あなたの選択関数と、私が（思う）選択する選択関数ｗ
　は、異なって良いのです！！ｗｗ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E6%84%8F%E6%80%A7_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
一意性 (数学)
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性質である。
一意性の証明
ある対象が一意性を満たすかどうかを証明する方法は、始めに目的の条件を持つ対象が存在することを証明し、
次にそのような対象がもう一つあり（例: aと b、それらが互いに等しいこと
（すなわち a=b ）
を示すことで得られる。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:35:47.75

>>42
一意性の話なんて誰もしてないのに何を勘違いしてんだ？このおサルは

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:38:04.80

>>42
>3）つまり、あなたの選択関数と、私が（思う）選択する選択関数ｗ
>　は、異なって良いのです！！ｗｗ；ｐ）
だからと言って勝手な選択関数は作れない。
もし作れるならそもそも選択公理は不要。
だから
>すきな順番に整列できる
は嘘デタラメ。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:39:41.42

無限個のうちの有限個は好きな順番にできるとか屁理屈捏ねるのが猿知恵の限界

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:44:11.39

>>40
>>17にはいつ答えるの？
これに正当できなければJechの証明を理解できたことにならないんだけど

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 19:45:40.82

>>41
(引用開始)
>突っかかるやつへの対抗ですよｗ；ｐ）
君自身がコピペした内容理解してないから無意味
君、Jechの証明理解してないじゃん
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）もし引用部分が正しいとするね
　そうすると、私の書いていることは
　基本は引用部分のURLからの再引用（2度目の引用）であります；ｐ）
　あるいは、引用部分のURLからの必然の事項となっています
2）従って、理解しているいないには関係なく
　ツッコミどころは、ない！ｗ
　（そこをたまに誤解して、”再引用（2度目の引用）”を私個人の意見と誤解してツッコミ入れる人居ますｗ。それあなたですｗ）
3）Jechの証明、前スレより下記だね
　 en.wikipedia の ”sup{α∣aα is defined}”が分らんと言っていた人あなたでしょ？ｗ
　私も誤解がありましたが、>>14の alg-d 壱大整域氏の証明で、ようやく理解できました

ご苦労さまですｗ；ｐ）

　前スレ 808より (参考)(再掲) 631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

Thomas Jechの証明再録（前スレ 848より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:49:34.21

>>47
屁理屈はいいので早く>>17に答えて下さいね

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 19:51:42.57

>>47
>私も誤解がありましたが、>>14の alg-d 壱大整域氏の証明で、ようやく理解できました
いいえ、あなたは理解できてません。理解できてる人が
>すきな順番に整列できる
などという嘘デタラメ言いません。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 19:58:40.30

>>44
(引用開始)
>3）つまり、あなたの選択関数と、私が（思う）選択する選択関数ｗ
>　は、異なって良いのです！！ｗｗ；ｐ）
だからと言って勝手な選択関数は作れない。
もし作れるならそもそも選択公理は不要。
だから
>すきな順番に整列できる
は嘘デタラメ。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

・それ、自爆発言ですね
・自ら、>>47のJechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
　ちゃんと理解出来ていないと自白しているに等しい！ｗ
・もしちゃんと理解出来ているならば
　選択公理（選択関数）には大きな自由度（任意度）があるのが分るはずです

おサルさん>>7-10、
証明を読むときに私が心がけているのが
数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解することだと
そう思って証明を見ています

あなたは、真に Jechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
ちゃんと理解出来てはいない！！ｗｗｗ；ｐ）

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 20:01:01.53

>>50 補足
>・もしちゃんと理解出来ているならば
>　選択公理（選択関数）には大きな自由度（任意度）があるのが分るはずです
>あなたは、真に Jechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
>ちゃんと理解出来てはいない！！ｗｗｗ；ｐ）

その選択公理（選択関数）の誤解・誤読が
箱入り無数目のあなたの議論の迷走の根源です！ｗ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 20:15:21.48

「好きな順番に整列できる！」→有限バカ一代か？！ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 20:25:13.96

「自分の好きな順番」と言う場合、「その順番ってZF内で記述できるの？」
ということが問題になり、それが可能なら選択公理は要らないよね
ということに気づかないのは、迂闊であり、有限バカだから。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 21:10:55.40

>>42
> 選択関数の一意性を主張
　また読み違えたね
　選択関数が一意的なんて誰も言ってないよ
　選択関数を決めたら整列は一意だといったまで
　選択関数が一意的でないのだから可能な整列も一意的ではない
　さらに整列から選択関数も決められるが、
　その場合可能な選択関数のすべてが実現できるわけではない

　いってることわかる？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 21:54:26.83

わからない

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 21:56:48.01

>>52-54
>「自分の好きな順番」と言う場合、「その順番ってZF内で記述できるの？」
>ということが問題になり、それが可能なら選択公理は要らないよね
>ということに気づかないのは、迂闊であり、有限バカだから。

1）整列可能定理で、整列させる順番は、決して一意ではない
2）それは、有限 or 無限とは別問題ですよ
3）”それが可能なら選択公理は要らないよ”は、誤解と無理解の複雑骨折ですねｗ；ｐ）

>　選択関数を決めたら整列は一意だといったまで
>　選択関数が一意的でないのだから可能な整列も一意的ではない
>　さらに整列から選択関数も決められるが、
>　その場合可能な選択関数のすべてが実現できるわけではない

1）ある人がある証明の中で「選択関数を決めて固定する」と宣言した
　それは、何の問題もない
2）しかし、それはその証明中だけ
　例えば、実数Rの整列を考えてみよう
　”実数Rの整列”を決める？固定する？それ ZFC内では無理ですよ
　そして、明らかに ”実数Rの整列”は一意ではない
　何通りもあるだろう。多分少なくとも可算通りでは収まらない（下記ご参照）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 22:29:41.72

>>50
>・それ、自爆発言ですね
それが君

>・自ら、>>47のJechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
>　ちゃんと理解出来ていないと自白しているに等しい！ｗ
それが君

>・もしちゃんと理解出来ているならば
>　選択公理（選択関数）には大きな自由度（任意度）があるのが分るはずです
選択公理とは「空でない集合の空でない族の直積は空でない」である。
つまり、直積の何らかの元が存在すると主張している。これは論理記号で書けば∃fであって∀fではない。
大きな任意度があーと言ってる君は∃と∀の区別が分かってないだけ。
そこが分からないから大学一年4月に落ちこぼれたんだよ。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 22:29:53.96

>おサルさん>>7-10、
おサルさんは君

>証明を読むときに私が心がけているのが
君には証明なんて読めないよ。
∃と∀の区別が分からない人がなんで証明読めるの？

>数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
>数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解することだと
>そう思って証明を見ています
いや、∃と∀の区別が分からない人の講釈は無用。

>あなたは、真に Jechの証明あるいは >>14の alg-d 壱大整域氏の証明が
>ちゃんと理解出来てはいない！！ｗｗｗ；ｐ）
それが君。
なぜなら、ちゃんと理解出来てる人は
>すきな順番に整列できる
などという嘘デタラメ言わないので。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 22:37:06.94

>>51
>その選択公理（選択関数）の誤解・誤読が
>箱入り無数目のあなたの議論の迷走の根源です！ｗ；ｐ）
おサルさんの迷走の根源は何の確率かを取り違えていること。
箱入り無数目の確率は、ある箱の中身を当てる確率ではなく、当たりの箱を選ぶ確率。それを10年かかってどうしても理解できないのが君。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 23:00:55.53

>>56
つべこべ屁理屈並べなくていいから「好きな順番に整列出来る」を早く証明してよ。
言っとくけど有限個だけ好きな順番に整列出来ても無意味だよ。それ、ほとんどすべて出来ないってことだから。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 23:15:32.24

>>55 >>57-59
>わからない

ID:bvvTKD+8 は、御大か
夜の巡回ご苦労さまです

ID:7z4Dw9JTは、おサル>>7-10
プロ数学者から
ダメ出しされちゃたねｗ；ｐ）

>つまり、直積の何らかの元が存在すると主張している。これは論理記号で書けば∃fであって∀fではない。
>大きな任意度があーと言ってる君は∃と∀の区別が分かってないだけ。

”∃と∀の区別が分かってない”のは、あなた
いま Xを無限集合としようその要素xについて
∀x∈X で何かの命題を証明したとする。反例はただ一つ ∃x∈X あれば良い
つまり、∀x∈Xと言ったら 100％正しくないといけない。0.1％でも例外は許されない

一方、∃x∈Xについて何かの命題を証明したとする
それはただ一つの∃x∈Xを意味しない。二つあっても良いし、場合によれば 100％（つまり∀x∈X）でも良い！
（∀x∈X は、反例を構成しない！）
∃x∈Xを否定するには、反証をすべての ∀x∈X についてしなければならない！！

>箱入り無数目の確率は、ある箱の中身を当てる確率ではなく、当たりの箱を選ぶ確率。それを10年かかってどうしても理解できないのが君。

もし、君が神様で箱を開けずに中の数を透視できるならば、箱を開けずに箱の中身（＝任意の実数）を当てられる
しかし、任意の実数の1点はルベーグ測度で零集合でルベーグ測度は0しか与えられないのだよ？
矛盾でしょ？ああ、君は数学科1年か2年で詰んでいてｗ
ルベーグ測度が分らないのかな？ｗｗ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 23:25:15.31

そもそも「好きな順番」とか言うのがおかしい。
誰も、「選択函数が一意的」なんて言ってない。
選択函数はいくらでもたくさん「存在しうる」し
また、いくらでも異なる整列関係が「入りうる」。
そんなことは百も承知。しかし、それをもって
「好きな順番」と言うことは無い。
なぜなら、中身が分からない（記述できない）のに
好きもクソもないから。

もし記述できるなら、それは選択公理が必要ないケース。
非可算無限集合族であっても「代表系が好みに選べる」
というケースはあって、その場合はまさしく選択公理は必要ない。
数学を知らない1はそういう具体例を知らないでしょ？
バナッハ-タルスキーのパラドックスでさえ、選択公理なしに
成立するケースがあるのである。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 23:30:38.35

>わからない

いや、>>55の言ってることはよく分かりますけど。
「御大」だからといって、何でも知ってるわけではない。
事実、「双曲平面でのバナッハ-タルスキーのパラドックス」
は知らなかったし、酷いところでは、「箱入り無数目さえ」
理解できなかった。もっとも記事をちゃんと読んだのか怪しいが。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/02(日) 23:33:34.74

>>37 補足
(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

（補足）
1）{a,b,c,d} を並べる順列は、ご存知の通りで 4！（4の階乗）
　有限 n個を並べる順列は、 n！通り
2）もし可算N(＝ω)なら同様に N！通りだろうが濃度でいうと 2^N かな
　非可算 2^N を並べる方法は、2^2^N（つまり実関数の濃度）か？

繰り返すが、X={a,b,c,d} はたまたまアルファベットを使っていて整列しているように見えるが
a,b,c,d には、全く順序が決まっていないときに
a,b,c,d に順序を与える場合の数は 4！通り

同様に
可算無限 X={x0,x1,x2,・・} に任意の整列順序を与える場合の数は可算では収らないだろうし
非可算無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} に任意の整列順序を与える場合の数は 2^2^N（つまり実関数の濃度）でしょ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 23:35:34.34

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/02(日) 23:42:13.85

訂正　>>63
→　いや、>>54の言ってることはよく分かりますけど。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 00:12:53.50

>>61
>”∃と∀の区別が分かってない”のは、あなた
それが君。
∀x∈X.P(x)⇔∧[x∈X]P(x)　∃x∈X.P(x)⇔∨[x∈X]P(x)
と、完全且つ簡潔な表記ができず、あーでもないこーでもないと駄文長文を書き連ねたのがその証拠。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 00:13:10.58

>もし、君が神様で箱を開けずに中の数を透視できるならば、箱を開けずに箱の中身（＝任意の実数）を当てられる
だからある箱の中身を当てる確率ではなく、当たりの箱を当てる確率だと言ってるのにｗ
言葉が通じないね。だからサルだと言われる。人の話を聞く耳持たないと人間扱いされないよ。

>しかし、任意の実数の1点はルベーグ測度で零集合でルベーグ測度は0しか与えられないのだよ？
>矛盾でしょ？ああ、君は数学科1年か2年で詰んでいてｗ
>ルベーグ測度が分らないのかな？ｗｗ；ｐ）
何の確率かをはき違えているからまったくトンチンカン。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 00:18:15.00

>>65
じゃ失せれば？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 00:26:59.98

「好きな順番に整列できる」
は
「任意の選択関数を構成できる」
ことに他ならない。

そもそも選択関数を構成できない命題だから選択公理の仮定が必要なのである。
しかも選択公理を仮定したからといって任意の選択関数が得られる訳ではない。
何重にも間違ってる。酷いなんてもんじゃない。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 00:32:00.56

ほらね、>>60に回答できず逃げたでしょ？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 05:42:07.56

選択公理が成り立つなら、どんな無限列s∈R^Nをとってきても
sの決定番号dが存在し　d<=nとなるnについてs[n]=r(s)[n]

一方、箱入り無数目で選ばれた箱の番号nがd以上になるには
他の99列の決定番号のどれかがd以上であればよい
逆に、箱入り無数目で選ばれた箱の番号nがd未満になるには
他の99列の決定番号のどれもがd未満でなくてはならない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 08:53:45.95

>>69
それがわからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:05:46.61

>>73
わかれよ　爺

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:06:17.92

わからないものはわからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:11:01.21

>>75
爺は目障りだとわかれよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:20:52.85

爺は荒し

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:21:31.31

それはわかっている

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/03(月) 11:25:44.20

>>64-65
ID:bvvTKD+8 は、御大か
巡回ご苦労様です

なるほど
ご指摘の思い当たる点を自分で赤ペンすると

(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

１）ここの素朴（ナイーヴ）な議論が、まずいってことですね
２）つまり、無限集合では
　ヒルベルトホテルのパラドックスが起きる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
　例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです（順序数の演算ご参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ）
３）この素朴な議論を、ZFC内で正当化したのが >>14の alg-d 壱大整域氏の証明で
　そこで必要なのが　１）選択公理（及びそれと同値のZorn補題）２）順序数との対応付け
　ということですね
　これによって当初の素朴（ナイーヴ）な議論のスジが、ほぼZFC内の議論に変換できている
４）ここで、注目すべきは冪集合 P(X)には、⊃ による順序構造とか
　X={a,b,c,d}を頂点にして最底辺が空集合∅ という階層構造とかがある（一方 X自身にはそういう構造の仮定はない）
　ここらを潜在的な構造としてうまく ZFC内で正当化しているのが、 >>14の alg-d 壱大整域氏の証明です
　なお >>37のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明も同様です

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:41:27.36

>>79
P(X)-{φ}={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d}}

として、選択関数ｆが
f({a,b,c,d})=c
f({a,b,d})=d
f({a,b})=b
f({a})=a
なら、整列はc<d<b<a となる
で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし
f({a,b,c,d})=a
とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる　さらに
f({b,c,d})=b
とすると、f({c,d})の値が必要となり、
f({c,d})＝c
とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる

要するにそういうこと　これは別にXが無限でも同じ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:45:28.25

>>79
Xが無限のとき、整列に対応する順序数は一意ではない

たとえばXが可算なら、整列に対応する順序数として、任意の可算順序数がとれる

そしてどういう可算順序数になるかは、選択関数fで決まる

>例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです

順序数の差なんて、リンク先に書かれてないが・・・幻視？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%AE%97

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:50:53.73

>>79
なぜ、有限だと選択公理が不要で、無限だと選択公理が必要か、わかるかい？

ヒルベルトホテルのパラドックス？　全然違うよ

答えは、無限回の操作なんて不可能だからだよ

選択公理であらかじめ空でないすべての部分集合とその要素の対応の集合を用意するのは１ステップ
また、順序数との対応づけも、帰納的定義だから１ステップ
どちらも無限回のステップなんてないから、論理的に正当

意味わかる？

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/03(月) 11:55:07.56

>>78 補足

下記は、見ておくのがよさそう

(参考)（”Hausdorff's Maximal chain Condition”と”Tukeyの補題”は、有名なので知っておくべきでしょう）
https://alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
https://alg-d.com/math/ac/zorn.html
Zornの補題・極大原理 2015年12月20日

定理1 次の命題は(ZF上)同値．

1.順序集合Xが「Xの鎖には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

6.有限性をもつ非空集合Xは(⊂に関する)極大元をもつ．(Tukeyの補題)

8.任意の順序集合(X, ≦)は極大鎖を持つ．(Hausdorff's Maximal chain Condition)

証明
略す

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 11:59:29.52

＞証明　略す

君、
実数の完備性に関する諸条件の同値性証明も
線形写像の正則性に関する諸条件の同値性証明も
全部すっとばして略したろ

論理が読めないから何度読んでも目が滑って何もわからないんだよ
論理を理解したまえ　でないと数学書なんてちっとも読めないぞ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 12:00:59.32

>>79
>>例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです
ωは後続順序数でないからωの前者となる順序数は存在しない。

相変わらず口を開けば間違いばかりだね。もう口閉じたら？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 12:30:51.44

>>85
実数ダメ　線形同型写像ダメ　選択公理ダメ
３部門で初歩レベルからダメ

これはもう根本的に心構えからなってないとしかいいようがないな　アレは

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 14:48:21.68

>>80
原理はその通り
>>14の alg-d 壱大整域氏の証明は
それを ZFCのルール中で構成している

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 14:54:16.65

>>86
わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 15:00:42.66

認知症？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 15:03:33.24

当然

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 17:34:08.54

>>87
そうかも

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 17:34:09.30

>>87
そうかも

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 17:57:18.63

>>80 補足
(引用開始)
選択関数ｆが
f({a,b,c,d})=c
f({a,b,d})=d
f({a,b})=b
f({a})=a
なら、整列はc<d<b<a となる
で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし
f({a,b,c,d})=a
とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる　さらに
f({b,c,d})=b
とすると、f({c,d})の値が必要となり、
f({c,d})＝c
とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる
要するにそういうこと　これは別にXが無限でも同じ
(引用終り)

それでいいんだよ
そして、いま

集合Xに対する選択関数fは
可算無限 X={x0,x1,x2,・・} ならば、f(X)＝xi | i∈N
（xiは、可算無限集合Xから一つ選ばれる）
連続無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} ならば、f(X)＝xt | t∈R
（xtは、連続無限集合Xから一つ選ばれる）

となる
そして、なにをどう選ぶか？
そのとき、その人次第なのです

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 18:08:51.89

>>93
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
まだ分かってなくて草
あったま悪いのうこのサルは

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 18:15:26.05

>>93
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？

君、選択公理すら分かってないんだね　なんでそんなに馬鹿自慢したいの？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 18:18:32.56

選択公理は自由に選択できる公理とでも？
数学は連想ゲームじゃないよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 18:29:23.24

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 19:33:21.30

>>96
>選択公理は自由に選択できる公理とでも？
　確かに人がすべての値を自由に指定できるなら、そもそも選択公理はいらないな
　その意味で「なにをどう選ぶか？そのとき、その人次第なのです」は嘘っぱちだな

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/03(月) 20:51:05.51

>>83 追加

下記も知っておく方が良い
特に

1.任意の集合は整列可能．
　↓
2.任意の全順序集合は整列可能．
　↓
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．

これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して集合 Xの整列可能をしている
一見その逆の主張だね、面白い；ｐ）

(参考)
alg-d.com/math/ac/wot.html
alg-d 壱大整域
選択公理 > 整列可能定理について
2012年08月05日
定理4 次の命題は同値
1.任意の集合は整列可能．
2.任意の全順序集合は整列可能．
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
4.順序数αに対して P(α) も整列可能．

証明 (1⇒2) 自明
(2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を
A<B ⇔ ある a∈A＼B が存在して任意の b∈B＼A に対して a<b
で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる．
(i) ￢A<A について．
A＼A= ∅ なので明らか

(ii) A<B ⇒ ￢B<A について．
A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0<b 」となる．よって明らかに￢B<A である．

(iii) A<B または A=B または B<A について．
A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である．

(iv) (A<B かつ B<C) ⇒ A<C について．
￢A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より
(1)　任意の b∈B＼A に対して a0 < b
(2)　任意の c∈C＼B に対して b0 < c
(3)　任意の a∈A＼C に対して c0 < a
を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである．
∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾．

同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する．
以上より(P(X), <)は全順序集合である．よって，仮定より整列可能である．

(3⇒4) 明らか．
以下略す

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 20:58:20.01

治らないコピペ癖

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 20:59:02.55

ほっとけ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 21:05:44.61

>>100
他人に対して知ったかぶりたいが、自慢できることはなんも知らないので
せっせと検索して得た結果を自分が考えたような顔してコピペ

でも突っ込まれると実数の連続性も正則行列も選択公理も全然わかってない
どの分野も初歩でアウト　スリーアウトチェンジ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 21:10:31.97

選鉱すらできてない冶金学

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/03(月) 21:38:35.02

>>95-97
(引用開始)
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？
君、選択公理すら分かってないんだね　なんでそんなに馬鹿自慢したいの？
選択公理は自由に選択できる公理とでも？
数学は連想ゲームじゃないよ

わからない by ID:HcxbjtX3
(引用終り)

ID:HcxbjtX3は、御大か
巡回ご苦労さまです

さすがですね
というか、当然ですが

数学で、存在定理（または公理。以下定理のみで略記する）とは存在を保証する定理ですが
そこに、人の意志が入る場合と入らない場合と両方が可能なのです（当たり前ですが、存在定理は人の意志を拒否しない）
あるいは、特別な場合に具体的な構成を示すとか

それは、数学のレベルが上がれば分ること
しかし、大学学部1年か2年で詰んで、レベルの高い数学を知らない人には、それが分らないのですね

en.wikipedia.org/wiki/Existence_theorem
Existence theorem

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
存在定理
何らかの数学的対象の存在をいう定理の総称。定理の内容や証明において、対象の具体的な構成方法は必ずしも示されない。

ja.wikipedia.org/w/index.php?search=intitle%3A%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86&title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%A4%9C%E7%B4%A2&ns0=1
タイトルに「存在定理」を含むページの一覧

高木の存在定理

カラテオドリの存在定理

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 21:42:20.76

＞大学学部1年か2年で詰んで、レベルの高い数学を知らない人
　それ現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP

　工学部卒の●●が人間面すんなよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 21:47:27.49

>>104
ポエムはポエム板でどうぞ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 21:50:51.37

現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP　は
現代数学への入門　から　やりなおせ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 22:47:54.14

うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/03(月) 23:44:33.04

>>102
ふっふ、ほっほ
天下の落書き便所板

君みたいな人がいてね
で、「君はどんな立派なことを書いたの？学位持ってる？論文書いて雑誌に載った？出版した本は？」
と聞いたら、裸足で逃げたな

この中で、自分の理論作って、論文書いた人は？一人だけか
この中で、自分の理論で、本を書いた人は？一人だけか

だったらさ、あなた方がタネ本隠して書くことはさ
みんなタネ本があって、そういうところからの受け売りじゃん！！ｗｗｗ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/03(月) 23:52:59.13

自分が訳も分からずコピペしてるからって他人も同じと思うのは下衆の勘繰り

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 00:07:04.95

>>108
>うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき

分って無いんか？
例を挙げよう
下記選択公理と等価な命題で、”ベクトル空間における基底の存在”があり
次元定理が導かれる

この応用として、下記に具体的な
{(1,1), (－1,2)} が R2 の基底を成すことの証明で
”次元定理による証明”として、極めて簡潔な証明があるよ
直接法と比べて見れば良い
抽象的な存在定理から、具体的なベクトルがその空間における基底であることが証明できる■

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理と等価な命題
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。

基底の存在
例
ベクトル空間 R2 を考える
一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (－1,2)} が R2 の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。

直接証明
定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (－1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。
線型独立性
実数 a, b に対して線型関係
略す
全域性
二つのベクトル (1,1), (－1,2) が R2 を生成することを示すには、いま (a, b) を R2 の勝手な元として、
略す

次元定理による証明
(－1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、二つのベクトル (1,1), (－1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、R2 の次元は 2 だから、{(1,1), (－1,2)} は既に R2 の基底を成している。

正則行列を用いた証明
略す

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 00:34:51.47

>>111
>抽象的な存在定理から、具体的なベクトルがその空間における基底であることが証明できる
選択関数の存在公理から、具体的な値が、箱入り無数目における確率であることが証明できる

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 05:45:01.81

>>111
>(－1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、
>(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、
>二つのベクトル (1,1), (－1,2) は線型独立。
>これを延長して基底が得られるはずだが、

問１　(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？

>R2 の次元は 2 だから、

問２　R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？

>{(1,1), (－1,2)} は既に R2 の基底を成している。

問３　直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか　それぞれ具体的に示せる？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 05:59:13.32

有限次元線形空間に対する次元定理の証明に選択公理は不要

これ豆な　知らんで文句つける奴は・・・正真正銘のド素人！

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 06:09:10.74

実は◆yH25M02vWFhPの>>111は
次元定理の肝心な点について述べてない
だから
「空間の次元の濃度がＯで
　濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら
　それだけでＢは基底だといえる」
みたいな主張になってるが・・・もちろん真っ赤な嘘である！

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 10:56:52.68

>>111 補足

これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
具体的な R2の線形空間の二つのベクトル (1,1), (－1,2) が、基底になっている

言い換えると、 (1,1), (－1,2) を、基底に取れる
証明を見ると、背後の数学の構造が分かる

証明から、基底の二つのベクトルが、かなり自由に選択できることが分かる
典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが一例にすぎないことも分かる

選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
(1,1), (－1,2) を選択しようが、 (1,2), (－3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない

また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して分かること（主張できること）があるんだね
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:19:14.27

>>116
> 背後の数学の構造
　御託を並べる前に>>113に答えてな

> (1,1), (－1,2) を選択しようが、 (1,2), (－3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
(1,-1)と(-1,1)だったら？　あかんやろ

　で、R^3のとき(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)だったら？

　で、R^Nのとき、偶数番目の成分だけ1で、あと0のベクトルだったら？　全部で可算個だぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:21:24.60

◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない

だから>>115みたいなことを平気で言う

次元定理のステートメント、確認してみ？
おまえが想像してるものと全然違うから

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:21:40.23

>>117
その御託がわからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:27:04.20

>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
選択関数を具体的に構成できるケースにおいてはそもそも選択公理を仮定する必要が無い。
根本的に分かってないね。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:31:11.51

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:35:39.58

>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
存在しか言わないなら妨げないことは自明。
自明なことをさも価値ありげに語ってあなたは馬鹿なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:36:26.58

それがわからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:38:57.01

>>116
>ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して分かること（主張できること）があるんだね
選択関数の存在公理を適用すれば確率1-εで勝てることが分かる。
10年がかりで分からなかった人もいるようだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:40:23.57

>>116
>基底の二つのベクトルが、かなり自由に選択できることが分かる
今更？ｗ　大学1年のとき何を勉強したの？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:45:57.44

真意が

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:52:08.07

>>116
>選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
>(1,1), (－1,2) を選択しようが、 (1,2), (－3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
まったくトンチンカン。
基底が一つに限らないことと選択公理はまったく無関係。
そもそも有限次元線型空間の基底の存在証明に選択公理不要。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:54:09.41

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:55:58.53

>>119
↓はあなたにとって正しいの？
「空間の次元の濃度がＯで
　濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら
　それだけでＢは基底だといえる」

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 11:59:25.23

正誤の問題？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 12:29:30.36

>>129の「」には反例がある
つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合
単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が
元の空間より真に小さい場合があり得る

だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが
◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる

有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
と考えるのはあさはか

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 12:54:19.30

>有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
>と考えるのはあさはか

だから、有限バカ一代と呼ばれる

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 12:59:50.80

無限列にも最後の項がある
決定番号は無限大である
無限個の元を好きな順番に整列できる

とも言ってたねｗ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:02:40.13

＞無限個の元を好きな順番に整列できる

　これは選択関数次第という意味ではウソではない
　ただ、選択関数を１つ決めてしまったらもう任意性はないけど

　ついでにいうと、可算だからといって、整列が必ずωと同型になる、なんていえない
　可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:09:47.81

>これは選択関数次第という意味ではウソではない
選択関数を好きに構成できると？
好きな順番に整列できるってことはそういうことだよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:16:43.18

>>134
たとえば
>可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある）
1<4<...<ω_1<2<5<...<ω_2<3<6<...<ω_3
は整列順序で合ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:23:03.39

＞選択関数を好きに構成できると？
　「構成」はできない
　ただ、考えられる選択関数は無数にある

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:25:10.61

>>137
それだと好きな順番での整列は無理だね

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:31:18.53

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 13:35:45.11

>>136

3<5<…　<6<10<…　<12<20<…
<2^3<2^5<…　<2^6<2^10<…　<2^12<2^20<…
<2^2^3<2^2^5<…　<2^2^6<2^2^10<…　<2^2^12<2^2^20<…

　も順序数ω^ω（可算）

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:04:09.21

皆さまお楽しみ中、お邪魔です；ｐ）

>>118
>◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない
>だから>>115みたいなことを平気で言う
>次元定理のステートメント、確認してみ？
>おまえが想像してるものと全然違うから
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

えーと、おサルさん>>7-10
いきなり難しい定理のサイトに飛んで消化不良ですよ
まず順番として下記高校数学の美しい物語次元定理の意味，具体例，証明
さらに数学の風景線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明
を見なさい。後者は、図解が美しいよ。

その上で英 wikipedia
”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
が、キモです。百回音読しましょうねｗ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1077
高校数学の美しい物語
次元定理の意味，具体例，証明 2021/03/07
行列における次元定理
A を m×n 実行列とするとき，
rankA+dim(KerA)=n
目次
次元定理について
具体例
次元定理のイメージ
次元定理の証明
次元定理について
rankA は
A のランク（階数）です。→行列のランクの意味（８通りの同値な定義）
dim は次元，
KerA は
A のカーネル（核）です。→行列のカーネル（核）の性質と求め方

「ランク，次元，カーネルってなんだ，全部初耳だよ」って方は，以下の具体例とイメージを見てなんとなく雰囲気をつかんでください。
次元定理は行列に対してではなく一般の線形写像について述べられることも多いです。ただし意味はほとんど同じなので，行列の場合できちんと理解しておけばOKです。
Wikipediaでは「階数・退化次数の定理」と呼ばれています。

次元定理の証明（分かり易い原文参照請う）
略す

https://mathlandscape.com/rank-ker-dim/
数学の風景
線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 2023.05.10

証明
Imf,Kerf はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明)。

V の基底になっていることを示すには，
それらが一次独立であること
任意の v∈V がそれらの一次結合でかけること
を示せばよい。順番に示していこう。
略す

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:04:36.10

つづき

英 wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem
Rank–nullity theorem
(google訳)
ランク-ヌル定理（階数零定理）
階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。
略す
したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。

より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
略す

A third fundamental subspace
When T:V→W is a linear transformation between two finite-dimensional subspaces, with
n=dim(V) and m=dim (W) (so can be represented by an m×n matrix M),
the rank–nullity theorem asserts that if T has rank r, then n－r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of T.
In some texts, a third fundamental subspace associated to T is considered alongside its image and kernel: the cokernel of T is the quotient space
W/Im(T), and its dimension is m－r.
This dimension formula (which might also be rendered
dim Im(T)+dimCoker(T)=dim(W)
together with the rank–nullity theorem is sometimes called the fundamental theorem of linear algebra.[7][8]

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。
より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
0→U→V→R→0
はベクトル空間の短完全列であるので、
U⊕R≅Vしたがって
dim（U）+ dim（R）=dim（V）.
略す
We see that we can easily read off the index of the linear map
T from the involved spaces, without any need to analyze
T in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:04:55.51

つづき

ついでに
独 wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
Rangsatz
Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf.
（google 英訳）
Table of contents
1 Sentence
2 Proofs
2.1 Proof of the Homomorphism Theorem
2.2 proof by basis completion
3 reversal
4 generalization

仏 wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_rang
Théorème du rang
（google 英訳）
Rank theorem
In mathematics , and more precisely in linear algebra , the rank theorem links the rank of a linear application and the dimension of its kernel . It is a corollary of an isomorphism theorem . It can be interpreted by the notion of linear application index .
In finite dimension, it allows in particular to characterize the invertibility of a linear application or of a matrix by its rank.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 16:22:54.49

>>141
お○○はあんただろ

>難しい定理

難しい？君にとって？
数学科の学生にとっては易しいけどな
そうでないなら数学科卒業できない

>線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明

rank f=dim im f だから
dim V = dim im f + dim ker f

有限次元の場合、dim V = dim im f　だったら
dim ker f=0 だから R^nの標準基底の像が線形独立なら
当然基底になる

し・か・し、無限次元ではそんなことは言えない
というのは∞＝∞＋ｘのとき、ｘ＝０なんていえないから

>”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、
>単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
>（It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension,
>either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
>が、キモです。百回音読しましょうね

何回音読しても証明が理解できないんなら
ヒトになれないただのサルだよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 16:29:32.97

大学１年の４月で数学落ちこぼれた
実質高卒の工学部卒の社奴◆yH25M02vWFhPにとって
次元定理はチョー難しいんだとｗｗｗｗｗｗｗ

そりゃ数学板なんか全然無理だから
諦めて囲碁板にいきやがれ
https://itest.5ch.net/subback/gamestones

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:33:49.38

>>131
(引用開始)
>>129の「」には反例がある
つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合
単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が
元の空間より真に小さい場合があり得る
だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが
◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる
有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
と考えるのはあさはか
(引用終り)

なるほど >>111 の ja.wikipedia 基底 (線型代数学) で
en.wikipedia で該当の Basis (linear algebra) では
”This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. ”の一言があるね（ja.wikipediaの記述が滑っているか）；ｐ）

ついでに、”Proof that every vector space has a basis”貼るよ
”This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9]”

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)
Basis (linear algebra)
This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces.
However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces.
Basis vectors find applications in the study of crystal structures and frames of reference.

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:34:09.89

つづき

Proof that every vector space has a basis
Let V be any vector space over some field F. Let X be the set of all linearly independent subsets of V.

The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.

Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).

Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.

As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.

It remains to prove that Lmax is a basis of V. Since Lmax belongs to X, we already know that Lmax is a linearly independent subset of V.

If there were some vector w of V that is not in the span of Lmax, then w would not be an element of Lmax either. Let Lw = Lmax ∪ {w}. This set is an element of X, that is, it is a linearly independent subset of V (because w is not in the span of Lmax, and Lmax is independent). As Lmax ⊆ Lw, and Lmax ≠ Lw (because Lw contains the vector w that is not contained in Lmax), this contradicts the maximality of Lmax. Thus this shows that Lmax spans V.

Hence Lmax is linearly independent and spans V. It is thus a basis of V, and this proves that every vector space has a basis.

This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9] Thus the two assertions are equivalent.
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 16:40:46.15

実数空間RはQ上の線型空間だが、
その基底は選択公理によってその存在が示されるだけであり、
具体的な構成はできない

Hamel基底
https://mathlandscape.com/hamel/

ちなみに上記の基底の濃度は連続体濃度（つまり非可算）

言っておくが、任意の実数は、1,1/2,1/4,…,1/2^n,…の有理数倍の級数で表せるが
線型和は有限和なので、基底が連続体濃度であることとの矛盾は全くない
（有限和と無限和を区別しない素人はギャアギャア騒ぐが
　数学理解できない○○なのでほっといてよし）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 16:55:45.96

>>148
R上の多項式全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底はあきらかに1,x,x^2,…である　一方
R上の形式的ベキ級数全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底は存在するが誰も書き表せない

そんな馬鹿な？！といった奴は有限和と無限和が全く区別できない正真正銘の馬鹿

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 16:57:44.42

線形空間の基底と、線型位相空間の基底は、異なる
前者は有限和しか考えないが、後者は無限和を考える
線形「位相」空間という所以である

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 16:58:55.57

>>137-140
>＞選択関数を好きに構成できると？
>　「構成」はできない
>　ただ、考えられる選択関数は無数にある

ありがとうございます。

１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
　存在定理（公理）とは、ある条件の数学対象が存在することを主張する
　その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
　が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい（そうしなければ、構成の有無で場合分けが必要なるｗ）
　有限集合と、無限集合の区別も同様で、選択公理は無限集合限定という制約はない（勝手に無限集合限定の制約があると思い込む人あり）
　存在は、一つに限らない。当然一つの場合もあるだろうが、限られない
（例えば、単元集合 {xi} i∈λ の選択関数は一意だが、二元集合 {xi,xj} i,j∈λに対する選択関数は一意ではなくなる）
２）こういう、当たり前の理解がすべって錯乱している人がいる気がする

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:01:30.10

>>151
＞選択公理は無限集合限定という制約はない
　選択公理をつかわなくても証明できる場合に
　選択公理をつかうのは工学部卒のオチコボレの貴様だけ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:02:27.51

すべってるのは論理がわからんド素人の◆yH25M02vWFhPだけ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:08:36.22

このスレは>>1がボケになる漫才になっているね
これが5ちゃんをお笑いにしようとする>>1の狙い
大阪にはそういうお笑いの風土や文化がある

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:20:34.82

>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理とは証明無しで正しいと認める命題

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:31:47.69

>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理はその適用対象を何も規定していない
だから命題ごとに個別に規定要（理論ごと規定する場合は「以下、断り無き場合〇〇公理を前提とする」などと表記）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:38:17.57

>>151
>その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
>が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい
選択公理は選択関数が存在するとしか主張していないから、具体的に構成できることを否定していないことは自明過ぎて語るに及ばず
あなたは馬鹿なんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:41:52.69

>>151
>存在は、一つに限らない。
選択公理は選択関数が存在するとしか主張していないから、一つに限定していないことは自明過ぎて語るに及ばず
あなたは馬鹿なんですか？

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 17:48:23.66

>>148-150
>線形空間の基底と、線型位相空間の基底は、異なる
>前者は有限和しか考えないが、後者は無限和を考える
>線形「位相」空間という所以である

下記だね
ja.wikipedia 基底 (線型代数学) 及び河東泰之，線形代数と関数解析学
『かわりに有用なのは，任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．』
だね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
関連概念
解析学
そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底（英語版）およびマルクシェヴィチ基底（英語版）が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。
これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。
位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。

無限次元空間に対してこれら異種の基底が優先されるのは、バナッハ空間においてはハメル基底は「大きすぎる」という事実によるものである。即ち、X が完備な無限次元ノルム空間（つまりバナッハ空間）のとき、X の任意のハメル基底が非可算となることがベールの範疇定理から従う。先の主張における完備性の仮定は無限次元の仮定同様に重要である。

例
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, …} が、区間 [0, 2π] 上の実（または複素）数値自乗可積分函数、即ち
略す
を満たす函数全体の成す実（または複素）線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 17:48:44.94

つづき

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/
河東泰之(かわひがしやすゆき) (Google Scholar Page)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0806.pdf
6.河東泰之，線形代数と関数解析学，「数理科学」 Vol.46-6, pp.39-43, サイエンス社，2008

1. はじめに
線形代数は線形空間とその上の線形作用素を取り扱う．
ごく基礎的な部分は線形空間が有限次元でも無限次元でも違いはないが，線形代数の中心的な話題，すなわち対角化，ジョルダン標準形，ランクの話などは，線形空間が有限次元でないと話がうまく進まない．
そもそも行列を具体的に書く話が線形代数の中心であり，無限サイズの行列は最初から話に入っていない．
この意味で通常の線形代数は有限次元の理論であると言ってもさしつかえない．
これを無限次元で考察するのが関数解析学である．
しかし，単に無限次元の線形空間やその上の線形作用素を考えたのでは，手がかりが少なすぎて，意味のある一般論はほとんど何も展開できない．
そこで新たな手法が必要になる．それが収束の概念である．
これを導入し，位相的な考察を加えた無限次元の線形代数が関数解析学である．
そもそもなぜ「関数」解析というのだろうか．それはさまざまな関数のなす無限次元空間が基本的な対象だからである．
関数解析学成立の重要な動機を与えたのは，微分(あるいは積分)方程式と量子力学である．
これら二つについては本号の特集でそれぞれ別に記事があるのでここでは詳しいことは書かないが，
前者については関数が出てくるのは当然であり，後者についてもさまざまな関数が物理的状態を表すものとして現れることに注意しておこう．
以下，線形代数が無限次元でどのような形を取るのか見ていくことにする．

2. ヒルベルト空間とバナッハ空間
まず線形作用素の前に線形空間がなければ話が始まらない．通常の線形代数では，基底の話は重要であるが，それ以外にはあまり中身のある話はない．たとえば線形空間の公理自体にたいして中身があるわけではない．通常の微分積分学では，数列の収束が基本的な概念である．
略
線形空間としての基底，すなわち任意のベクトルを有限個の基底ベクトルの線形結合で表せるものはいつでも存在するが，無限次元線形空間でそのようなものを考えてもほとんど役に立たない．
かわりに有用なのは，任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
これに対し，一般のバナッハ空間の設定では基底の一般論はやっかいであり，あまりはっきりした結果は得られない．
ノルムがうまく定められないが自然に位相の入る線形空間もあり，さまざまなクラスが研究されているが簡単のためここでは省略する．
以下略
(引用終り)
以上

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:49:45.39

>>151
>２）こういう、当たり前の理解がすべって錯乱している人がいる気がする
妄想が見えるようですね。病院行った方が良いのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 17:50:56.03

治らないコピペ癖と妄想癖

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 18:03:46.42

>>156-158
選択公理および選択関数について
トンチンカンな発言をしている人がいた
だから、当たり前のことを、強調しただけですよ（＾＾

>だから命題ごとに個別に規定要（理論ごと規定する場合は「以下、断り無き場合〇〇公理を前提とする」などと表記）

大体は、ほぼ ZFCベース
だから、特に断りがない場合は、ZFCベースがデフォ（デフォルト）ですよ

たまに、「この証明には、選択公理が必要」とか、後出しで注意を書く場合あり（＾＾

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:07:42.95

>>163
>選択公理および選択関数について
>トンチンカンな発言をしている人がいた
妄想でないならレス番号教えて

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:08:56.13

>>163
>選択公理および選択関数について
>トンチンカンな発言をしている人がいた
好きな順番に整列できるとか、aαを使ってfを定義するとか言ってる人ならいましたけど

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:10:32.86

>>163
>大体は、ほぼ ZFCベース
>だから、特に断りがない場合は、ZFCベースがデフォ（デフォルト）ですよ
治らない妄想癖

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/04(火) 18:21:51.18

>>100-101
>治らないコピペ癖 ID:oyw47Vnz
>ほっとけ ID:pX4W9Cg1

ID:pX4W9Cg1は、御大ね
ID:oyw47Vnzは、おサル>>7-10 かな？

１）院試合格までは、数学の実力は主に試験で測られる
　限られた場所で、カンニング無しで、限られた時間内でどれだけ解けるか
２）しかし、院試合格の後の数学の実力はなんでもあり
　カンニングありで、誰に相談しても聞いても良い
　時間制約は、あっても年単位
３）社会人でも、上記２）と似たようなもの
　特に、”カンニングありで、誰に相談しても聞いても良い”

さて、ここ天下の落書き便所板で
多くの人がタネ本があるのにそれを隠して
あたかも自分が考えたように書いている院試の答案のように
で、しばしばエラーが混じる赤ペンが必要だ

自分が、そのようにして赤ペンが必要なエラー混じりのカキコをして
しかし、タネ本を隠して自分の実力のように見せてハナタカしている

だが、ハナタカできるのは独自の数学理論を創出して
論文書いて、教科書（テキスト）を書いて、大学で講義したり
そういう人だけでしょ？

なんか、タネ本でカンニングしているのに
そこを偽装して、ハナタカしている
それって、見え見え。たいがい底が見えていますｗｗ；ｐ）

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:28:16.96

自分の言葉で語れる者はわずかであり
あとはこだまのようなもの
と
A. Weilは岡に語ったあと、人懐っこい笑顔を
浮かべながら
「あなたが文化勲章を貰われたので
奥さんはすっかりご機嫌ですね」
と言った。

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:33:05.14

>>167
>院試合格までは
大学一年4月に落ちこぼれた人がなんか言ってますね

>タネ本でカンニングしているのに
カンニングしても嘘デタラメ書いちゃう人がなんか言ってますね

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:36:03.07

わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 18:59:05.43

>>167
>院試合格までは、数学の実力は主に試験で測られる
　次元定理がチョームズいとか
　泣き言言ってる落ちこぼれに
　数学の院試は絶対受からんよ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:00:50.33

>>167
>院試合格の後の数学の実力はなんでもあり
>カンニングありで、誰に相談しても聞いても良い
　カンニングで間違える大●●野郎

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:04:45.62

>>167
>タネ本でカンニング
　オチコボレはそもそも教科書が正しく読めず
　初歩から盛大に間違える
　院試？いやいや大学１年の微積と線形代数の単位落としてるだろ
　次元定理もわかんない●●じゃ仕方ない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:10:39.27

>>167
次元定理もわからん奴がハナタカするとかマジ🌲違い

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:14:13.27

🐎🦌は理解してないことをコピペで誤魔化すが
🐎🦌はともかくウソをつくのが人でなし

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:19:09.06

次元定理がムズいようじゃ
陰関数定理なんかワケワカメだろな

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 19:30:38.18

🌲違いが●った時に言う言葉
院試　カンニング　タネ本　ハナタカ

ま、どうせ院試で落ちて
社奴に成り下がった
屈辱が忘れられず
「実社会ではカンニングOK！
　タネ本もろコピべでも
　ハナタカしまくりだぜ」
とか喚いて、チラ読みで
必要な前提全部削りまくって
正方行列は正則行列で正規行列とか
ウソ800吠えまくるwww

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 20:56:35.08

わからん

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/04(火) 21:04:06.67

資源工学冶金学の鍛冶屋さん
日夜トンチンカントンチンカン

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 00:12:42.77

>>160
>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．

これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
下記山上滋先生名大関数解析入門『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
ですね（＾＾

(参考)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
授業記録山上滋名大
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/zokuron2017.html
解析学 2017
テキストである関数解析入門２０１７の三分の二程を、進度予定表に沿って行う
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/hilbert2017.pdf
関数解析入門山上滋 2017
目次
略す

作用素解析とのつながりを意識した関数解析入門である。予備知識としては、フーリエ解析とルベーグ積分の初歩を仮定する。例えば、次の講義ノート程度のことを知っていれば十分であろう
（URL二つ略す）
予備知識以上に大事なのが利用のしかたである。これは、知識とか技能を習得するためのものではない。数学を実践するための題材提供が主たる目的なので、各自の問題意識に応じて、緩急自在にいくつかある課題に取り組んで欲しい。他は、それに至る準備に過ぎない

1．道の糧など
このように、関数の間に「距離」を設定すると、ベクトル空間における内積から導入されるそれと形式上よく似たものであることがわかってくる。このことをより組織的に行うと、微積分の線型代数化、あるいは無限次元線型代数としての解析学、といった側面が見えてくる。これが、関数解析学の基本的なアイデアである。さて、ユークリッド空間の位相については知っていることであろうが、そもそもユークリッド空間とは何か説明できるだろうか

これは、いうなれば、高校以来慣れ親しんできた幾何ベクトルとその内積を逆算的に用いて定義としたもので、卑怯といえば卑怯な方法である。しかし、こう割り切ることで、ユークリッド空間およびその幾何学が実数の性質に帰着するものであることが容易に把握できるようになる。悪くない定義だと思うのだがどうだろうか。なお、こういった形式的な定義が、物理現象（主に光）に由来する空間認識と一致すべき先験的な理由は何もないのだが、非常に良く幾何学的直感となじんでいるのも事実

Ｐ26
略をみたすとき、正規直交基底と呼ぶ
すぐ後でみるように、この逆も成り立つ

命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する（全然一意的ではないが）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ

正規直交基底の濃度を考えているヒルベルト空間Ｈの次元といい、dim Ｈで表す
正規直交基底の濃度は正規直交基底のとり方によらないのであるが、その確認には多少の議論を要する
以下ではとくに断らない限り可算次元のヒルベルト空間を扱うものとする

つづく

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 00:13:06.95

つづき

付録E Kuratowski-Zornの定理
略す

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1909.pdf
20 河東泰之，ヒルベルト空間と作用素環，「数理科学」 Vol.57-9, pp.29-35, サイエンス社，2019．

2. 有限次元空間から無限次元へ
略す
(引用終り)
以上

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 07:51:08.42

>>180
>>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
>これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
>下記山上滋先生名大関数解析入門『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
>Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
>ですね（＾＾

＜補足＞
1）Zorn補題は、選択公理と同値
2）Zorn補題（選択公理）で、通常のベクトル空間(基底の有限和)から
　基底の無限個のベクトルの線形結合を使うヒルベルト空間まで
　その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
3）『全然一意的ではないが』 by 山上滋先生名大
　存在のみのZorn補題（選択公理）で、言える
4）その存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
　同様に、例えば、ヒルベルト空間である特別な基底候補を使いたいとき
　まず、上記命題4.5 に照らしてみれば良い
　そうすれば、その基底候補が、実際に基底として使えることが分る
　フーリエ級数が、典型例>>160

"Zorn補題（選択公理）は、存在しか言えないから具体的なこと言えない"と思ったあなたそれ勘違いですよ
存在の公理（定理）だから、適用範囲が広い
そして、ある空間の基底の存在定理、次元定理から具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 07:52:48.99

>>182 タイポ訂正

　その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
　　　↓
　その空間の基底の存在と、次元（ヒルベルト空間の場合基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 08:18:00.45

>>182
> Zorn補題（選択公理）で、
> 線形空間の基底の存在と、
> 次元（基底の集合の濃度を意味する）が決められる
> 基底の存在定理の典型的な、使い方が>>110だね

>>111な　三ケタの数字を覚えられんのか？　この昭和耄碌爺

で、>>112は解けたのか？

線形空間が有限次元なら、選択公理なんか使わんでも、
次元定理なんか直接証明できるぞ●●

大学１年の線型代数で習わんかったか？
ああ、論理がわからんので全く理解できんかったか？
計算方法覚えることしかできん●●公の工学部卒社奴

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 08:21:10.28

>>182
> ある空間の基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？

　できるものならな

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 08:48:38.36

>>185
そういう理屈が通じない相手であることがわからないということが
わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 08:55:17.33

>>186
> そういう理屈が通じない相手であることが
　わかってる
> わからないということがわからない
あきらめたらそこで試合終了ですよ
https://dic.pixiv.net/a/%E3%81%82%E3%81%8D%E3%82%89%E3%82%81%E3%81%9F%E3%82%89%E3%81%9D%E3%81%93%E3%81%A7%E8%A9%A6%E5%90%88%E7%B5%82%E4%BA%86%E3%81%A7%E3%81%99%E3%82%88

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 09:03:51.28

●●公がここに書くのを諦めないなら
我々も彼に対する「教育」を諦めない

どこぞの大学の●●名誉教授様とは違う

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 10:18:00.51

勝手に書かせておけと思えない理由が
わからない

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 10:48:57.32

>>113
誰かさんはギブアップのようなので。

>問１　(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？
[定義]体F上の線型空間Vの元v1,・・・,vnが線型独立：∀f1,・・・,fn∈F.Σ[k=1,n]fkvk=0⇒f1=・・・=fn=0。線型独立でなければ線型従属。
[証明]
(2,-1,-1)+(-1,2,-1)+(-1,-1,2)=(0,0,0)なので線型従属。

>問２　R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？
[定義]線型空間Vの部分集合Bが線型独立性と全域性を満たすときBはVの基底。Vの次元=|B|。
[証明]
i∈I:={1,2,・・・,n} とする。
ei∈R^n をi番目の成分=1且つ他の成分=0である元とする。{ei|i∈I} は自明に線型独立。（線型独立性）
∀r∈R^n の i番目の成分を ri と書く。このとき r=Σ[i∈I]riei であるから {ei|i∈I} は R^n を張る。（全域性）
以上から {ei|i∈I} は R^n の基底であり、R^n の次元はn。

>問３　直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか　それぞれ具体的に示せる？
省ける手間：全域性の証明。省けない手間：線型独立性の証明。

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 10:50:53.01

>>182 補足

・Hilbert spaceの Hilbert dimension は、下記
"As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94]"
(which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
・”The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).”
　”As a consequence of Parseval's identity,[95] 略 ”
・なお、>>146-147 "Proof that every vector space has a basis"では、有限和は陽には使われていない
　なので ”The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.
　Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
　Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.
　As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.”
　とやっているので、⊆ による順序は Hilbert space でもそのまま使える
　あとは、直交基底と位相的な収束の話を色付けすれば、よさそうだ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
Hilbert space

Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94] For instance, since l^2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).

The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).

As a consequence of Parseval's identity,[95] if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l^2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
⟨Φ(x),Φ(y)⟩l^2(B)=⟨x,y⟩H
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l^2(B) for some set B.

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 11:10:23.00

”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>185-188
>あきらめたらそこで試合終了ですよ

ふっふ、ほっほ
こっちは、＜公開処刑続く＞
(あほ二人の”アナグマの姿焼き")のつもり

しかし、低レベルのバトルでは、観客も面白くないだろうから
いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）

おサルにしたらあきらめたらそこで試合終了だわなｗ
がんばれよ、おサルｗｗ；ｐ）

さて >>185
(引用開始)
> ある空間の基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？
　できるものならな
(引用終り)

・いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　それに対して、具体的に構成できないことを持ち出しても反論になってないぞｗ；ｐ）
・RをQ上の線形空間としてみたときの基底（R/Qで）
　すべての基底を具体的に明示することはできないが
　ある有限n個の無理数で基底 b1,b2,・・,bn を選んで、それらが Q上一次独立にはできそうだな
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良いｗ

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 11:42:06.38

>>192
＞いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　なんで、具体的な候補があるのに、選択公理使う奴がいるの？
　候補が実際、基底であることを示せばいいだけじゃん　馬鹿？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 11:43:23.27

>>193
＞残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　おまえ、考える能力がない馬鹿だろ？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 11:46:24.54

だいたい、全部が具体的に示せるかという問いに、
「一部なら示せる（どやぁ）　残りは魔法を使う」
とかいう奴は、人の話が聞けない●●山の●●公

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 11:49:41.83

◆yH25M02vWFhPは、
「ボクちゃん、国立大学の入試に合格したから賢いもん」
とか思ってるようだけど

所詮高校卒業レベルのことしか出題されない大学入試試験に
答えられたくらいでドヤ顔すんな　イタイタしいな

特に数学に関しては、高校卒業レベルなんて実に大したことない

**現代数学の系譜雑談** ◆yH25M02vWFhP · 2025/02/05(水) 11:54:28.92

>>192 補足
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）

例えば
√2(=2^1/2), 2^(1/3), 2^(1/4),・・ 2^(1/m),・・ 2^(1/n),・・・
で、任意 2^(1/m) - 2^(1/n) （m≠n）が有理数でなければ良い

あるいは
√2(=2^1/2), 2^(1/2)^2, 2^(1/2)^3,・・ 2^(1/2)^m,・・ 2^(1/2)^n,・・・
で、任意 2^(1/2)^m - 2^(1/2)^n （m≠n）が有理数でなければ良い

mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 11:57:33.27

>>192
>いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
>徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのこそ誤解・無理解

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 12:41:09.54

>>197
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2025/02/05(水) 12:41:19.28

>>197
> n → 可算無限にできそうな気がする

君、乙？