>>21 補足
いま、この方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
(方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能)
ここで、体の拡大を図示すると
Q(α) Q(a^(1/5),ζ)
↑ ↑
Q---→Q(ζ)
ここに、α=cos(2π/11)、ζは1の5乗根
・Q(α)は、最小分解体で、方程式は完全に因数分解される
・Q(a^(1/5),ζ)は、クンマー拡大
・Q(a^(1/5),ζ)は、Q(ζ)に対し5次の拡大で、自己同型のガロア群は5次の巡回群
・Q(a^(1/5),ζ)内で、α=cos(2π/11)のべき根表示が得られるから
Q(α)⊂Q(a^(1/5),ζ)だ
・Q(α)には、a^(1/5)とζの両方とも、含まれない
・Q(a^(1/5),ζ)は、Qから数えると、20次の拡大
・α=cos(2π/11)は、もとの方程式の三角関数による解法(根の三角関数による表示)と見ることができる
こんな感じですかね
なかなか、面白い例ですね
探検
純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)12
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25現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2022/12/23(金) 08:20:46.28ID:IWsCfSx6■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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