>>568
>＞なお、･･･ラグランジェのリゾルベントでべき根拡大証明するのはありだが
>＞数学の証明は、複数の別証明がある場合が多いよ
>　ラグランジュのリゾルベントが使えない状況でも、代数的に解けますか？

１）解けるよ
２）そもそも、なぜ根の置換が重要か？
　それは、下記の定理 6.3による
　（この定理と証明は、いろんな方程式論の本にある）
３）そして、下記「分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
　とになってしまうので これの由来を説明する」
　とあるよ。ここ読んでね
４）もちろん、１のべき根は必要に応じて、添加できる前提だが
　（１のべき根は、代数的に可解なので、当然ですが）

(参考)
https://sitmathclub.github.io/research/
芝浦工業大学 数理科学研究会
https://sitmathclub.github.io/research/pdf/2015/shibaura/document/ishikawa_p.pdf
2015
多項式の解法
芝浦工業大学　数理科学研究会
石川 直幹
P12
定理 6.3
有理式 f(x1,x2,・・,xn) を変えない置換によって 他の有理式 φ(x1,x2,・・,xn)が変わらないならば
φ＝(a0+a1f+a2f^2+・・)/(a'0+a'1f+a'2f^2+・・)
のような恒等式が成り立つ
(注：つまり、φは式 fの有理式で表される)

P28
3 分解式の作り方
3.1 三次の場合
このままだと 分解式を x1+ωx2+ ω^2x3 とおいたことは 天来の妙手としか言いようがないというこ
とになってしまうので これの由来を説明する
(以下略。原文参照のこと。要するに、数ある分解式で、1次式で良さそうなものがこれって話です)

なお
P36
5 5次方程式の解法
その後の
6 補遺で5次方程式になぜ冪根解法がないかの探求をしているところは、参考になるだろう
(引用終り)
以上