>>491
つづき
3 楕円曲線と保型形式の関係
L 関数
いろいろなゼータ関数がある.楕円曲線の L 関数もその一種.
y2 = x3 + ax + b で定義される楕円曲線を E で表わす.各素数 p に対し,整数 ap(E)
を定義し,L 関数を
L(E,s) = Πp 1/(1 ? ap(E)p?s ? p1?2s)
で定義する.
ap(E) の定め方:
保型形式との結びつき:無限積を展開すると L(E,s) = Σ∞ n=1 an/ns と表わせる.
志村・谷山予想:Σ n=1 an/q^n が保型形式である.
(付録)Fermat の最終定理と楕円曲線 関連年表 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho.pdf
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F#q-%E5%B1%95%E9%96%8B
モジュラー形式
5.3 q-展開
モジュラー形式の q-展開 (q-expansion)[note 2] はカスプにおけるローラン級数、あるいは同じことだが(ノーム(nome)の平方)q = exp(2πiz) のローラン級数として表されるフーリエ級数である。実際、複素函数 "exp" はガウス平面上では消えないので q ≠ 0 だが、実軸の負の部分に沿って w → ?∞ とした極限で exp(w) → 0 なので、2πiz → ?∞ すなわち虚軸の正の部分に沿って z → i?∞ とした極限で q → 0 である。したがって、q-展開はカスプにおけるローラン級数になっている。
「カスプにおいて有理型」というは、負冪の項の係数のうち 0 でないものが有限個しかないという意味であり、したがって q-展開
f(z)=Σ _n=-m^∞ c_n exp(2π inz)=Σ _n=-m^∞ c_n・q^n.
は下に有界かつ q = 0 において有理型である。ここに、係数 cn は f のフーリエ係数であり、整数 m は f の i?∞ における極の位数である。
つづく
探検
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65
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492132人目の素数さん
2022/04/23(土) 11:44:04.80ID:MU2asfqc■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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