Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 65

[1 １３２人目の素数さん 2022/02/12(土) 11:20:25.41 ID:/qkcTHB7]

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1641704497/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（参考）
https://twitter.com/math_jin
math_jin 出版序文リンク Andrew Putman 2021年3月6日
https://drive.google.com/file/d/1n1XMCNyQxswQGrxPIZnCCMx6wJka0ybh/view

望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り出版されました。また、“Explicit”版が公開され、査読は完了したようです。
IUTの4回の国際会議は無事終わり、Atsushi Shiho (Univ. Tokyo, Japan)先生が、参加したようです。
IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！（＾＾；）

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

[259 １３２人目の素数さん 2022/04/12(火) 16:34:36.87 ID:QwXooT/Y]

>>250
>異なるものを同じと見て
>その一方で、同じと見たものから、異なる世界の「メガネ」を通して、別のものと見る(復元ですね)

下記の望月 H24年7月 公開講座 ”数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」”
曰く”「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。”

異なるものを同じと見て、その一方で、同じと見たものから、異なる世界の「メガネ」を通して、別のものと見る(復元)
H24（2012）年7月は、ちょうど2012年8月のIUT論文公表前です
おそらくは、IUT論文関連の話題を、公開講座に使ったのでは

（参考）
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H24-mochizuki.pdf
公開講座 平24年7月30日〜
数体と位相曲面に共通する「二次元の群論的幾何」望月 新一
要約
有理数体 Q のような「数体」と、複数のドーナツの表面を合体させたような形をしたコ
ンパクトな「位相曲面」は一見して全く異質な数学的対象であり、初等的な可換環論、つ
まり、「加減乗除」が可能な数学的対象としての構造の理論から見ても直接的に関連付ける
ことは難しい。しかし数体の拡大体の対称性を記述する「絶対ガロア群」と、コンパクト
な位相曲面の有限次の被覆の対称性を統制する「副有限基本群」を通して両者を改めて眺
めてみると、「二次元的な群論的絡まり合い」という形で大変に興味深い構造的な類似性
が浮かび上がってくる。本稿では様々な側面におけるこの種の類似性に焦点を当てながら、
数体と位相曲面の基礎的な理論について解説する。

目次
§1. 数体の付値と拡大
§2. 位相曲面上の輪体と被覆
§2.1. コンパクトな位相曲面の定義と種数
§3. コホモロジーによる「次元」の定義
§4. 数体と位相曲面の「絡まり合いの現場」：数体上の代数曲線
§4.1. 数体上の双曲的代数曲線
§4.2. 副有限基本群への絶対ガロア群の忠実な外作用

つづく

[260 １３２人目の素数さん 2022/04/12(火) 16:35:08.17 ID:QwXooT/Y]

>>259
つづき

P20
位相曲面の場合、 §2.3 で解説した普遍被覆のような（一般には無限次の）被覆等、様々
な被覆が存在するわけだが、
多項式で定義される「代数的な世界」に留まろうとすると、
有限次の被覆しか扱うことができない。
つまり、代数曲線 X によって定まる位相曲面の（連結な）有限次被覆は、元の X と同様、
代数曲線として自然に定義されるが、無限次被覆については同様な性質は成立しない。
代数曲線 X の有限次の被覆が代数的に定義されるということは、 §2.3 で取り上げた「副
有限基本群」 ‘πb1(?)’ は X によって定まる位相曲面に対して定義でき、しかもそれを、
ある代数曲線の族に出てくる
それぞれの代数曲線の（有限な！）被覆変換群たちの成す
系の逆極限として扱うことができる
ということである。この副有限基本群を
π＾1(X)
と表すことにする。
次に、X が数体 F 上で定義されているとしよう。すると、先程の「代数曲線の族」に
登場する各々の代数曲線たちも、（F 上で定義されるとは限らないが）F の適切な有限次拡
大（⊆ Q）の上で定義されることは簡単に示せる。従って、F の絶対ガロア群 GF を、こ
れらの代数曲線の定義方程式たちにあらわれる係数たち（＝ Q の元！）に作用させること
によって、GF を上述の「代数曲線の族」に作用させることができる（図８を参照）。
副有限基本群 πb1(X) は、厳密にいうと内部自己同型を除いてしか定義されないものなの
で、このような GF の「外作用」(outer action) によって
ρX : GF → Out(πb1(X))
のような形の自然な準同型＝「外部表現」(outer representation) が定まる。この GF の
πb1(X) への外作用は、
数体の数論（＝ GF）と位相曲面の位相幾何（＝副有限基本群 πb1(X)）という、
一見全く異質な二種類の数学的構造を関連付ける
重要な研究対象である。

つづく