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つづき

ZF
The hereditarily finite sets are a subclass of the Von Neumann universe. Here, the class of all well-founded hereditarily finite sets is denoted Vω. Note that this is also a set in this context.

If we denote by p(S) the power set of S, and by V0 the empty set, then Vω can be obtained by setting V1 = p(V0), V2 = p(V1),..., Vk = p(Vk-1),... and so on.
Thus, Vω can be expressed as Vω=∪ k=0〜∞ Vk.
We see, again, that there are only countably many hereditarily finite sets: Vn is finite for any finite n, its cardinality is n-12 (see tetration), and the union of countably many finite sets is countable.
(引用終り)

１．書かれているように、Hereditarily finite setは、”cardinality depend on the theory in context”ってことです
２．つまり、”Theories of finite sets”＝有限集合理論 では、
　例えば、”In this context, the negation of the axiom of infinity may be added”
　とあるように、無限公理の否定をあえて追加する議論もありってこと。この場合は当然、無限集合は否定されるってこと
３．で、ZFのcontextでは、無限公理は認める立場だ
　この立場は、古代ギリシャのユークリッドが、素数の無碍を証明したのと同じ（標準的立場）
　つまり、自然数集合N 元 1,2,3,・・ で、濃度ｱﾚﾌ0 つまり、1,2,3,・・ は可算無限個あるが、但し∀nたちは有限
　よって、このcontextでは 上記の”Vω=∪ k=0〜∞ Vk”も、正当化できる
４．「1,2,3,・・ は可算無限個あるが、但し∀nたちは有限」という
　この一見矛盾した状況が理解できないレベルならば、
　カントールの順序数論では、まっとうに議論できるレベルじゃない（低レベル）ってことです
以上