>>527 補足

スレ主です
選択公理と同値な[ツェルメロの整列可能性定理]によって、任意の集合E上に整列順序が存在する（下記）
整列可能性定理の示すところ、任意の（お好みの）順序で、任意の集合E上に整列順序を構築できる
例えば、実数Rで、好きなr1を取る。残りの集合R＼r1に対して、好きなr2を取る。繰り返すと
抽象的な整列順序列 r1,r2,・・ができる

それ以外の列も可能
例えば、下記の整列集合wikipediaの例と反例をご参照

初項r1が欲しければ、
上記の通り、先にr1を取り出して、後はr1抜きの部分集合で列を考えれば良いだけのこと

逆に、自然数Nとωを加えたN*=N∪{ω}は、整列集合で
1,2,・・,ωとできる。この順序は、通常の不等号<と考えてよいから
1<2<・・<ωとできる。整列可能性定理、即ち選択公理を認めるならば（*）、この順序列の存在は否定できない
(つまり>>7は否定される)
（ *）選択公理は、必要ないと思うが、分かり易く表現した）

（参考）
http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
整列可能定理
[ツェルメロの整列可能性定理] 　任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べます
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。

つづく