>>513
>松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）
>P105 問題の2

これ、綺麗に解説している人が居る
必要十分の証明で、前半が背理法、後半が（対偶）なんやね。松坂の巻末に略解があり、同じことを書いているが、下記は丁寧で分かり易い。お見事です

http://sskmathematics.kilo.jp/blog/
佐々木数学塾
松坂先生の集合・位相入門
2021年9月28日

「存在することを示せ」と言われたら（その２）
（★P105問題2 ）
順序集合Aの元の列(an)n∈Nで，a1<a2<…<an<…となるものをAにおける昇鎖という．これと相対的にAにおける降鎖が定義される．
Aが全順序集合であるとき，Aが整列集合であるための必要十分条件は，Aにおいて降鎖が存在しないことであることを示せ．

存在を追え！

証明
（⇒）
Aが整列集合で，Aにおいて降鎖が存在すると仮定する．このとき，Aの元の列(an)n∈Nで，
a1>a2>…>an>…
となるものが存在するが，{an}n∈Nには最小元が存在せず，矛盾である．

（←）
Aが整列集合でないならばAにおいて降鎖が存在することを示す（対偶）．
仮定により，Aは整列集合でないから

¬(Aが整列集合)
　↓↑
¬(空でない任意の部分集合が最小元をもつ)
　↓↑
¬(M≠Φ,M⊂A⇒Mは最小元をもつ)
　↓↑
∃M[M≠Φ,M⊂A,Mは最小元をもたない…(*)]

¬(Mが最小元をもつ)
　↓↑
¬(∃a∈M∀x∈M[a?x])
　↓↑
∀a∈M∃x∈M[x<a]…(**)

したがって(*)を満たすMが存在する．このMの任意の元aに対して，(**)により，x<aとなるx∈Mが存在する．
そこで，Mの元を任意に1つとり（これをa1とおく），それに応じて定まる（x<a1を満たす）x∈Mをa2とおくと
a2<a1
となる．さらにこのa2∈Mに対して，再び(**)により，上と同様にx<a2となるx∈Mが存在する．これをa3とおけば，
a3<a2
が成り立つ．これを繰り返してAの元の列(an)n∈Nを定めれば，これが示すべきものとなる．

証明終
(引用終り)
以上