t=tanθとおくと、倍角の公式
cos2θ=(1-t^2)/(1+t^2), sin2θ=2t/(1+t^2)
が成立する。
tが有理数∪{∞}のとき
(x,y)=(cos2θ,sin2θ)が単位円周上の
有理点であることは見易い。

t=sin2θ/(cos2θ+1) だから、(x,y)=(cos2θ,sin2θ)
が有理点であれば、有理数∪{∞}なるtが逆に得られる。

t=∞に対応する有理点は(x,y)=(-1,0).
したがって、これを除けば、有理数なるtと
円周上の有理点が1対1対応する。