>>27
つづき

実際 例えば、下記

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11148602706
aas********さん 知恵袋 2015/8/10
集合と位相の問題です。
X=N∪{0}とする（Nは自然数）。Xの部分集合族Oを
A∈O⇔A⊂N,またはX-AはNの有限部分集合
と定める。
以下の問いに答えよ
(1) (X,O)はHausdorff空間であること、正規空間（T_1+T_4)であることを示せ
(2) (X,O)はCompact空間であるか、理由を含めて答えよ
(3) Y:={1/n|n∈N}∪{0}を、通常の位相をもつEuclid空間Rの部分空間とするとき、(X,O)とYは同相であることを示せ。
以上です。よろしくお願いします。

ベストアンサー
fra・・・・・・さん 2015/8/11
N に離散位相を考えると局所コンパクトハウスドルフ空間です。この空間の一点コンパクト化が （X，O）に相当します（通常は 0 を付加する代わりに ∞ を付加しますが、記号は何でも構いません）。
略
コンパクトであることは次のように証明できます。
Xの開被覆を U(λ)，λ∈Λ，とします。いま
略
(引用終り)

ここにあるように、自然数N（上記では1から始まる自然数）で、コンパクト化は普通∞ を付加するが、この問題では 0 を使っている
で、いま手元の松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968）のP219 「コンパクト化問題」で
定理 17
「S＝（S、O）を位相空間として、Sに、その中にない1点x∞を付け加えた集合を
　S*＝S∪{x∞}とする。そのとき、S*に適当な位相O*を導入して位相空間S*＝（S*、O*）を作り
次の(i)(ii)が成り立つようにすることができるためには、Sが局所コンパクトなHausdorff空間であることが必要十分・・略」

これで、x∞については、特に制約はないし（上記知恵袋と同様）、
また同P222には、複素平面のリーマン球面がコンパクト化の例として示されている
ここも、位相空間としては、複素平面の外の1点という以外には、制約無いぞよ！ｗｗ