>>477 補足説明
(引用開始)
「”無限長の降鎖(a_n)n∈N”は松坂和夫氏の「集合・位相入門」ではどう定義されてますか？」
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
　a_1>a_2>…＞a_n>…
　となるものをAにおける降鎖という」

昇鎖の定義：上記降鎖の不等号>を<に変えて
「順序集合Aの元の列(a_n)n∈Nで、
　a_1<a_2<…＜a_n<…
　となるものをAにおける昇鎖という」
(引用終り)

ここが、分かってない人が居そうなので、補足するよ
降鎖：a_1>a_2>…＞a_n>…
昇鎖：a_1<a_2<…＜a_n<…

これを理解するのに、まず関数の増加と減少から説明するよ
簡単に実関数とする
f：x→y, y=f(x)

関数の増加とは：xが増加すると、yが増加する
つまり、x_1<x_2<…＜x_n<… に対して、y_1<y_2<…＜y_n<… となる場合
（xが増加するにつれて、yが増加する）

関数の減少とは：xが増加すると、yが減少する
つまり、x_1<x_2<…＜x_n<… に対して、y_1>y_2>…＞y_n>… となる場合
（xが増加するにつれて、yが減少する）

数列の場合、離散変数 x=1,2,・・,n,・・を考えて、
関数値列 a_1,a_2,….a_n,… を考えるわけだ

そして
降鎖：a_1>a_2>…＞a_n>… （関数値が減少）
昇鎖：a_1<a_2<…＜a_n<… （関数値が増加）
となる

つまり、列 a_1,a_2,….a_n,… 自身は、(変数 nを考えなければ)単なる列と見ることも出来る
実際、単調増加でも、単調減少でもない列もあるし
なにより、離散変数 x=1,2,・・,n,・・との対応を考えなければ、
降鎖、昇鎖の定義も、関係ない

つづく