>>298
つづき

命題 9.4
Φ: G → G′ を準同型とする．e を G の単位元とする．このとき，以下が成立する：
(1) Im Φ = G′ ⇔ Φ は全射．
(2) Ker Φ = {e} ⇔ Φ は単射．
(3) Φ が全単射のとき，逆写像 Φ-1: G′ → G も準同型．
証明.
(1) これは全射の定義そのものである．
(2) の ⇒ 方向 この証明中では G′ の単位元を e′ と書くことにする．g1, g2 ∈ G で g1≠ g2 のとき，g1g-1≠ e
である．いま，Ker Φ = {e} なので，Φ で e′ に送られる元は e だけであることから，
e′≠ Φ(g1g-12) = Φ(g1)Φ(g2)-1
(最後の等式では命題 9.2 (2) も用いた)．これより，Φ(g1)≠ Φ(g2) であることがわかる．
(2) の ? 方向 Φ が単射であることより，任意の e≠ g ∈ G に対して， e′ = Φ(e)≠ Φ(g)(最初の等式では命題
9.2 (1) を用いた) となる．よって，g ?∈ Ker Φ であるから，結局 Ker Φ の元は e のみ，つまり Ker Φ = {e} で
あることがわかる．
(3) 任意の g′1, g′2 ∈ G′ に対して，
Φ(Φ-1(g′1g′2)) = g′1g′2 = Φ(Φ-1(g′1))Φ(Φ-1(g′2)) = Φ(Φ-1(g′1)Φ-1(g′2))．
(最後の等式は Φ の準同型としての性質を用いた．) ここで，Φ は単射であることより，結局
任意の g′1, g′2 ∈ G′に対して，Φ-1(g′1g′2) = Φ-1(g′1)Φ-1(g′2)
が言える．これは Φ-1 が準同型であるということに他ならない．

つづく