>>296
つづき

命題 9.2
Φ: G → G′ を準同型とし，e を G の単位元，e
′ を G′ の単位元とする．このとき，以下が成立する：
(1) Φ(e) = e′．(“単位元は必ず単位元に送られる”)
(2) 任意の g ∈ G に対して，Φ(g-1) = Φ(g)-1．
証明.
(1) 単位元と準同型の性質より，
Φ(e) = Φ(ee) = Φ(e)Φ(e)
が成立する．これより，Φ(e)-1 を両辺に掛けると，e
′ = Φ(e) がわかる．
(2) Φ(g-1) が Φ(g) の逆元の定義の性質を満たしていることを確かめる．
Φ(g-1)Φ(g) = Φ(g-1g) (準同型の性質より)
= Φ(e) = e′((1) より)
Φ(g)Φ(g-1) = Φ(gg-1) (準同型の性質より)
= Φ(e) = e′((1) より)
となるので，確かに Φ(g-1) = Φ(g)-1 である．

つづく