二項展開によるフェルマーの最終定理の証明

[1 日高 2020/09/30(水) 20:02:28.14 ID:LSjp8KRv]

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。x,yは有理数とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)の右辺を展開すると、x,yが有理数、p^{1/(p-1)}が無理数なので、(3)は成り立たない。
(4)の(ap)^{1/(p-1)}が有理数のとき、x,yは、(3)のx,yのa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)も成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

[980 日高 2020/10/17(土) 11:22:31.25 ID:GETDVM1Z]

>977
x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√3)^2の解の2√3/3倍となるので
x^2+y^2=(x+2)^2のx,yに有理数を代入すると成り立たない
となるから間違っています

x^2+y^2=(x+2)^2は、a=1です。
x^2+y^2=(x+√3)^2は、a=√3/2です。

[981 日高 2020/10/17(土) 11:26:57.05 ID:GETDVM1Z]

>978
元々本当はa=rなんですがね

そうです。a=1と、a=1以外となります。

[982 日高 2020/10/17(土) 11:30:20.81 ID:GETDVM1Z]

(修正28)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、x,yに有理数を代入すると、成り立たない。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,yに有理数を代入すると、成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。

(参考)
(3)を(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^p、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w}^p…(3')と
する。
(s,tは有理数、wは無理数)
(4)はx、y、(ap)^{1/(p-1)}を有理数とすると成り立たないので、
(3')も(p^{1/(p-1)})/wを有理数とすると成り立たない。

[983 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 11:37:43.07 ID:bs/t62vw]

>>979
x^p+y^p=(x+√2)^p…(*)
は，√2が無理数なので、x,yにどんな数を代入しても、(*)の解x,y,zは整数比とならない

この論証は，それ自体だけで，他の論拠を必要とせず正しいと確定できるのですか？という意味です。

[984 日高 2020/10/17(土) 11:39:16.70 ID:GETDVM1Z]

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はr=2なので、yに有理数を代入すると、xは有理数となる。
(4)の解x,y,zは、(3)の解x,y,zのa倍となるので、(4)は自然数解x,y,zを持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持つ。

[985 日高 2020/10/17(土) 11:49:09.87 ID:GETDVM1Z]

>983
x^p+y^p=(x+√2)^p…(*)
は，√2が無理数なので、x,yにどんな数を代入しても、(*)の解x,y,zは整数比とならない

この論証は，それ自体だけで，他の論拠を必要とせず正しいと確定できるのですか？という意味です。

他の論拠を必要とせず正しいと確定できます。

[986 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 11:58:46.03 ID:gwOz3Hch]

>>981
> >978
> 元々本当はa=rなんですがね
>
> そうです。a=1と、a=1以外となります。

だからr=2とかr=p^{1/(p-1)}になる根拠がないということなんだけれども
分かっていますかね？
>>982や>>984では修正されていないが
a=r=1を基準にするのだから
x^2+y^2=(x+1)^2…(3)
x^p+y^p=(x+1)^p…(3)
a=1以外は
x^2+y^2=(x+a)^2…(4)
x^p+y^p=(x+a)^p…(4)
です

[987 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 12:03:12.77 ID:gwOz3Hch]

>>980
> >977
> x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√3)^2の解の2√3/3倍となるので
> x^2+y^2=(x+2)^2のx,yに有理数を代入すると成り立たない
> となるから間違っています
>
> x^2+y^2=(x+2)^2は、a=1です。
> x^2+y^2=(x+√3)^2は、a=√3/2です。

aの値は関係ないですね
間違いは間違いです

[988 日高 2020/10/17(土) 13:00:48.00 ID:GETDVM1Z]

(修正29)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、x,yに有理数を代入すると、成り立たない。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,yに有理数を代入しても、成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持たない。

(参考)
(3)のx,yが無理数のときは、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^p、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w}^p…(3')とする。(s,tは有理数、wは無理数)
(4)はx、y、(ap)^{1/(p-1)}を有理数とすると成り立たないので、
(3')も(p^{1/(p-1)})/wを有理数とすると成り立たない。

[989 日高 2020/10/17(土) 13:06:17.86 ID:GETDVM1Z]

>987
> x^2+y^2=(x+2)^2は、a=1です。
> x^2+y^2=(x+√3)^2は、a=√3/2です。

aの値は関係ないですね
間違いは間違いです

どういう意味でしょうか？

[990 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 13:09:26.71 ID:1wSGNKNZ]

>>982

こんな短い証明を2つの証明に分ける必要ないでしょう。
別に2つに分けても循環してるのがなかったことにできませんよ。

>>982によると、
１．「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
２．１．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
３．２．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
４．３．の「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
５．４．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
６．５．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
７．６．の「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
８．７．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
９．８．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。

どこまでいっても本物の証拠にたどり着きません。循環しています。

[991 日高 2020/10/17(土) 13:14:43.61 ID:GETDVM1Z]

>990
どこまでいっても本物の証拠にたどり着きません。循環しています。

どの部分が循環しているのでしょうか？

[992 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 13:18:43.11 ID:1wSGNKNZ]

>>991

証明の一番重要な部分は最初と最後の結論以外の、真ん中の証拠を書いている部分です。
証拠を書かない証明など何も書いてないのも同じです。

>>990もおなじです。
最後の行より上のほうに、重要な証拠が書いてあります。

>>988も同じことが言えます。証明は失敗です。

[993 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 13:25:30.64 ID:gwOz3Hch]

>>989
> x^2+y^2=(x+2)^2は、a=1です。
> x^2+y^2=(x+√3)^2は、a=√3/2です。
>
> aの値は関係ないですね
> 間違いは間違いです
>
> どういう意味でしょうか？

aの値を書いたところでおまえの証明が間違っていることが
正しくなるわけがない

[994 日高 2020/10/17(土) 13:26:16.87 ID:GETDVM1Z]

>992
>>988も同じことが言えます。証明は失敗です。

よく意味がわかりません。

[995 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 13:30:24.51 ID:1wSGNKNZ]

>>994

>>988と>>982は同じ失敗をしている、という意味ですよ。つまり、

>>988によると、
１．「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
２．１．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
３．２．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
４．３．の「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
５．４．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
６．５．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
７．６．の「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。
８．７．の「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」は「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」と同じ意味です。
９．８．の「(3')に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」です。

どこまでいっても本物の証拠にたどり着きません。循環しています。

[996 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 13:37:18.73 ID:1wSGNKNZ]

>>988
それに、もちろん

【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、x,yに有理数を代入すると、成り立たない。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,yに有理数を代入

(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,yに有理数を代入すると、(3)のｘ、ｙに有理数÷a^{1/(p-1)}を代入するのと同じ比になる
文章は前から読むものなので、
ここまでで(3)のｘ、ｙに有理数÷a^{1/(p-1)}を代入していないので、(4)のx,yに有理数を代入しても、成り立たない。は証拠がなく、いえません。

>>988の証明は失敗です。

[997 日高 2020/10/17(土) 13:39:59.05 ID:GETDVM1Z]

>995
１．「(4)に整数比の数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に整数比の数を入れても成り立たない」です。

ではなく、
「(4)に有理数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に有理数を入れても成り立たない」です。

[998 日高 2020/10/17(土) 14:11:14.27 ID:GETDVM1Z]

>996
ここまでで(3)のｘ、ｙに有理数÷a^{1/(p-1)}を代入していないので、(4)のx,yに有理数を代入しても、成り立たない。は証拠がなく、いえません。

よく意味がわかりません。

[999 日高 2020/10/17(土) 14:12:21.08 ID:GETDVM1Z]

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はr=2なので、yに有理数を代入すると、xは有理数となる。
(4)の解x,y,zは、(3)の解x,y,zのa倍となるので、(4)は自然数解x,y,zを持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解x,y,zを持つ。

[1000 １３２人目の素数さん 2020/10/17(土) 14:14:55.48 ID:gwOz3Hch]

>>997
> 「(4)に有理数を入れても成り立たない」の証拠は「(3)に有理数を入れても成り立たない」です。
これが成り立つのはa^{1/(p-1)}が有理数の場合だけだからアウト