>>807 訂正

集合 E＝ V × W（デカルト積）として、構成される 自由 R-加群として、
　↓
集合 E＝ V × W（デカルト積）の基底 として、構成される 自由 R-加群として、

だな
E＝ V × W（デカルト積）ではないですね

補足
１．V × W（デカルト積）で、>>801の田丸先生より
　 {v1, . . . , vn} を V の基底, {w1, . . . , wm} を W の基底とする.
２．デカルト積の定義（下記）より、基底のペア (vi, wj)∈V × W となる
３．この基底のペア(vi, wj)は、mn個存在する
４．この基底のペア(vi, wj)で、ベクトル空間を考えると、V × W（デカルト積）はmn次元のベクトル空間になる
５．テンソル積の空間は、V × W（デカルト積）全体ではなく、下記直積 (ベクトル)wikipediaの 二つのベクトル v∈V、w∈ のテンソル積 v ◯x w から成るものに制限される
　（下記「典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。」ってことね。（ｍｎ行列全体ではなく、直積 (ベクトル)の形に制限される。詳しくは、直積 (ベクトル)wikipediaをご参照））

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D%E9%9B%86%E5%90%88
集合のデカルト積（デカルト-せき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB)
直積 (ベクトル)
線型代数学における直積（direct product[1]）あるいは外積（outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。
(引用終り)
以上