>>721 追加
思いついたときに、外積と行列式について、追加しておく

行列式は、外積のn-次外冪で特徴づけられる(下記)
「n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ」
もし、テンソル積なら、3ｘ3行列なら 9個の項になるところ、3！＝6にしかならない
外積が、下記「交代性 任意の v∈ V に対して v∧v=0 」なる性質から、基底の外積で0になるものがあるから

　>>719に示したように、テンソル積の普遍性（ある種の一意性）及び 田丸 ”次元を用いた判定条件 補題 1.9”から
外積及び、外積の一種の外冪で特徴付けられる行列式も、テンソル積とは異なる！

（多重線型ではあるが）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式
(抜粋)
定義
抽象的な定義
K を可換環とし、E を階数 n の A 上の自由加群とする。E の n-次外冪 ?nE は A 上階数1の自由加群である。

明示的な定義
n 次正方行列の行列式は n 次の斉次多項式で、項を n! 個持つ（ライプニッツの公式）。

二つの定義の同値性
Kn の標準的な基底を (e1, …, en) とする。行列 X の各列を表す縦ベクトル v1, …, vn とする
略
これは Kn 上 ?nX が (det X)-倍写像として作用していることを示している。
n-次外積の普遍性により、行列式とは行列の各行の縦ベクトルに関する n-重交代線型写像で単位行列について 1 を与えるようなものとして特徴づけられることがわかる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
(抜粋)
V 上の交代性
(1) 任意の v∈ V に対して v∧v=0
を持つものである。

形式的定義と代数的な性質
外冪
基底と次元
V の次元を有限な n とし、{e1, …, en} を V の一つの基底とする。

楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。 一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ?k(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる
以上