>>662
🐓はなんか怖がって書かないだろうから、
🐓レベルの回答を先回りして書いとくかｗ

内積　　v1w1 + v2w2
行列式　m11m22 - m21m12

で、上記の「高校生が試験前の一夜づけして書くような式」が
数学科レベルの定義から導ける（当たり前だが）

まず、内積のソフィスティケイトされた定義

1．v・w＝w・v　（対称性）
2．au・ｖ=a（u・v)　u・av=a（u・v)
　 (u+v)・w=u・w＋v・w　u・(v+w)=u・v+u・w　（多重線型性）
3．基底をe1,e2とするとき
　　e1・e1=1　e1・e2=e2・e1=0　e2・e2=1

ここで
v=v1e1 + v2e2
w=w1e1 + w2e2
とすれば

v・w
=(v1e1 + v2e2)・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・(w1e1 + w2e2)+v2e2・(w1e1 + w2e2)
=v1e1・w1e1+v1e1・w2e2+v2e2・w1e1+v2e2・w2e2
=v1w1(e1・e1)+v1w2(e1・e2)+v2w1(e2・e1)+v2w2(e2・e2)
=v1w1*1+v1w2*0+v2w1*0+v2w2*1
=v1w1+v2w2

ほら、出たｗ