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x+r=zを満たして、それを無理数で割って、再びx+r=zを満たすというなら、具体例をひとつぐらい挙げてみろ。

等式の性質により、
x+r=zの両辺に、αを掛けたαx+αr=αzは、x+r=zが成り立つとき、αx+αr=αzも、
成り立ちます。
つまり、x+r=zの解とαx+αr=αzの解は、同じとなります。