【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】pは奇数なので、x^p+y^p=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}と因数分解できる。
したがって、z^p×1=(x+y){x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(1)となる。
(1)の左辺の右側と右辺の右側は等しいので、1={x^(p-1)-x^(p-2)y+…+y^(p-1)}…(2)となる。
(2)の自然数解は、x=y=1のみである。(1)は、z^p=1+1=2…(3)となる。z^p=2を満たす自然数zはない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。