>Zが無理数だと何が問題なのかわかりません！

X,Y,Zが整数比とならないからです。

>xもrも有理数なので、zも有理数です！
x,y,zを有理数と仮定したこととはまったく矛盾しません！

rが有理数の場合は、Xが無理数となります。

>Zはzとは別の変数ですよね！？
Zが無理数だと何が問題なのかわかりません！

Zはzとは別の変数です。しかし、X:Y:Z=x:y:zとなります。

X,Y,Zが整数比とならないからです。