>【定理】z=x+r かつ zとxが共に有理数
　　　　ならば
　　　　r は必ず有理数である。

そうですね。正しいですね。

z,xが、有理数のとき、
z=x+rの、xが有理数で、rが無理数ならば、式は成り立たない。
これが、863の証明の主張です。