z=x+rなんだから、

rが無理数ならば「xを有理数とすると、zは無理数となる」だから、xとzは整数比になり得ない……(1)

rが有理数ならば、xを有理数とすると、zは必ず有理数となる。だから、xとzは必ず整数比になる……(2)

つまり、
★★(1)と(2)のxとzの比が等しくなることは決してあり得ない★★

整数比になりえない(1)と、整数比でしかない(2)は、何倍しても何倍しても決して一致することはないの。

上記は、正しいです。
私の主張は、別のことです。

rが、p^{1/(p-1)}の場合は、z=x+p^{1/(p-1)}です。

rが、(ap)^{1/(p-1)}の場合は、
z*(a^{1/(p-1)}=x*(a^{1/(p-1)}+(ap)^{1/(p-1)}となります。

z*(a^{1/(p-1)}=Z, x*(a^{1/(p-1)}=Xとおくと、
X:Z=x:zとなります。

rが、(ap)^{1/(p-1)}の場合は、rは有理数となりえます。