>前半部分(④まで)は、「かつr^(p-1)=pかつxが有理数ならば、x,y,zのいずれかは有理数でない」ことを示しているが、
r^(p-1)=pでないときについては何も証明していない

r^(p-1)=pでないときは、r^(p-1)=apとなります。
r^(p-1)=pのときと、r^(p-1)=apのときは、x,y,zの比は等しくなります。

>残りの部分は、「x,y,zと、それらを等倍したX,Y,Zとの間にX:Y:Z=x:y:zの関係が成り立つ」ことは示しているが、
x^p+y^p=z^pかどうか、X^p+Y^p=Z^pかどうかについては何も証明していない
(x^p+y^p=z^pとX^p+Y^p=Z^pは同値であるが、それらがどういう数であるかは示されていない)

X^p+Y^p=Z^pとx^p+y^p=z^pは同値となるので、
x^p+y^p=z^pのみを検討すればよい。

と思います。