> z=2+3^(1/2)

> Z=(2+3^(1/2))*3/3^(1/2)

　3^(1/2)は実数なのだから、証明するまでもなく z も Z も実数であることは明らかだかです。よって命題の証明に関しては何の意味もありません。

　全くの無意味です。

　呆れるほど無意味です。

　何度も言いますが x、y、z は自然数（もしくは 0 でない有理数）と仮定しなければなりません。x、y、z のうちどれか1つでも実数ならば
　　x^3 + y^3 = z^3 ･････①
が成り立つからです。したがって①を変形するとき、
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃　いかなる理由があるとも x、y、z に実数を足したり掛けたりするような四則演算を施しては ┃
┃なりません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛
　変形のための四則演算は必ず有理数の範囲で行うように、慎重を期さねばならないのです。だから難しいのです。

　r は　r = z - x　で定義したのですから当然有理数です。これを
　　r^2{ (y/r)^3 - 1 } = 3(rx + x^2) ･････③
から r^2 = 3 としてしまえば r が有理数であることを否定し、改めて r は実数であるとと仮定したことになります。したがって定義の　r = z - x　より、z か x のどちらかは必ず実数となります。どちらが実数になっても①は成り立ちますので
> z=2+3^(1/2)
> Z=(2+3^(1/2))*3/3^(1/2)
などという変形はまったく無意味なのです。問題外のそのまた外です。