>x と z を共通の無理数で割れば z=x+p^{1/(p-1)} が成り立たなくなるのだから、同じような証明は使えないでしょう、ということです。

p=3の場合の例

z=x+√3, x=2√3, z=3√3

共通の無理数√3でわると、
3=2+1となります。