x^3 + y = z^3 を満たす自然数の組 (x, y, z) は存在しない。･････①
は、偽の命題です。

x^3 + y^3 = z^3 を満たす自然数の組 (x, y, z) は存在しない。･････②

①のx^3 + y = z^3と、②のx^3 + y^3 = z^3は、別の式だと思います。