フェルマーの最終定理の簡単な証明

日高 · 2019/09/23(月) 09:33:36.12

pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^p+y^p=z^pをz=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^pとする。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p=z^pとなる。
xを有理数とすると、zは無理数となる。
∴x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 09:50:21.96

ファルマーの冒険って小説なかったっけ？

日高 · 2019/09/23(月) 10:22:04.56

どこか、
おかしいところが、あるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 10:52:20.95

>r=p^{1/(p-1)}となるので
なんで？

日高 · 2019/09/23(月) 12:05:14.99

x^p+y^p=(x+r)^pの両辺をr^pで割る。
(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 12:46:00.20

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

はなぜですか？

日高 · 2019/09/23(月) 13:24:40.70

わかりやすく、p=3の場合で計算します。
(y/r)^3-1=3{(x/r)^2+x/r}, r^2{(y/r)^3-1}=3(x^2+rx),
r^2=3とすると、r=3^(1/2)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:08:16.60

p=4の時はどうなりますか？

日高 · 2019/09/23(月) 15:22:43.21

r=4^(1/3)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:25:39.37

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

この計算をp=4の場合にもしていただきたいです

日高 · 2019/09/23(月) 16:49:51.72

p=4は、奇素数ではないので、p=5でやります。
(y/r)^5-1=5{(x/r)^(5-1)+...+x/r},
r^(5-1){(y/r)^5-1}=5(x^(5-1)+...+r^(5-2)x},
r^(5-1)=5とすると、r=5^{1/(5-1)}となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 16:53:14.21

(x+y)^5計算してみてください
そのあと、x=y=1としてみてください

日高 · 2019/09/23(月) 17:28:26.90

(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5,
=1+5+10+10+5+1
=32
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/25(水) 01:23:26.97

>>5
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

ここが理解できない。
r^(p-1)=pとなぜ仮定しちゃってるんですか？？

r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x}
の左辺は有理数×有理数という形になっているので、掛け合わしてる数のいずれかは素数の倍数になるという整数の性質は使えないと思うのですが。
違う論法なんですかね。

ちょっと解説を。