フェルマーの最終定理の簡単な証明

日高 · 2019/09/23(月) 09:33:36.12

pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。
x^p+y^p=z^pをz=x+rとおいて、x^p+y^p=(x+r)^pとする。
r=p^{1/(p-1)}となるので、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p=z^pとなる。
xを有理数とすると、zは無理数となる。
∴x^p+y^p=z^pは自然数解を持たない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 09:50:21.96

ファルマーの冒険って小説なかったっけ？

日高 · 2019/09/23(月) 10:22:04.56

どこか、
おかしいところが、あるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 10:52:20.95

>r=p^{1/(p-1)}となるので
なんで？

日高 · 2019/09/23(月) 12:05:14.99

x^p+y^p=(x+r)^pの両辺をr^pで割る。
(x/r)^p+(y/r)^p=(x/r+1)^p, (y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p(x^(p-1)+...+r^(p-2)x},
r^(p-1)=pとすると、r=p^{1/(p-1)}となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 12:46:00.20

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

はなぜですか？

日高 · 2019/09/23(月) 13:24:40.70

わかりやすく、p=3の場合で計算します。
(y/r)^3-1=3{(x/r)^2+x/r}, r^2{(y/r)^3-1}=3(x^2+rx),
r^2=3とすると、r=3^(1/2)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:08:16.60

p=4の時はどうなりますか？

日高 · 2019/09/23(月) 15:22:43.21

r=4^(1/3)となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/23(月) 15:25:39.37

(y/r)^p-1=p{(x/r)^(p-1)+...+x/r},

この計算をp=4の場合にもしていただきたいです

日高 · 2019/09/23(月) 16:49:51.72

p=4は、奇素数ではないので、p=5でやります。
(y/r)^5-1=5{(x/r)^(5-1)+...+x/r},
r^(5-1){(y/r)^5-1}=5(x^(5-1)+...+r^(5-2)x},
r^(5-1)=5とすると、r=5^{1/(5-1)}となります。