分からない問題はここに書いてね454

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 22:59:21.29

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね453
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1558041041/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/17(水) 23:51:55.89

簡単な問題は誰でも答えられるからな
その分そりゃあとから答えつけるようなのも増えるだろう
何もおかしくなくね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/17(水) 23:58:10.71

仕事は何してる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 00:03:08.41

>>251
＞困るんだよね。

どこの誰がなんで困るの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 00:19:31.46

n^5 は 10進表示で {log(n^5)/log(10) + 1} 桁。
1 ≦ n < 9{log(n^5)/log(10) + 1},　　　　>>273
1 ≦ n < 98.7552
n = 1, 28, 35, 36, 46

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 00:36:22.44

>>272
ありがとうございます
マクローリン展開そのものなんですね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 00:43:43.13

>>264
計算をしたいというと語弊がありそうですが、デカルト座標系から座標系Qへの時間に依存した変換Txが分かっているとき、速度をQにおける座標qとその時間微分の値qドットと時間tで表す関数は右下の式で表されるものに限られるか、というようなことを証明したいです
次元が変というのは具体的にどのあたりでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 01:21:53.83

>>281
最後のところですよ
内積とってるんだがなんだかわかりませんけど、何やってるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 01:49:09.00

>>282
N×(N+1)型行列Tx'(q, t)とN+1次元列ベクトル(qドット, 1)の行列積です
見辛くてすみません

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 01:56:18.94

>>283
Tx’てなんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 02:24:45.80

>>284
各x∈R^(N+1)について
Tx(x+h)=Tx(x)+Tx'(x)h+o(|h|) (h→0)
を満たすようなR^(N+1)→M(N, N+1: R)の写像です

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 02:49:23.70

>>279
2行目から3行目の変形がわからないんですが、どうして具体的な数字に持っていけるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 07:37:02.30

Fを標数p＞0の素体とする時
F(x,y)/F(x^p,y^p)の中間体が無数にあることはどのように示せますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 10:15:00.03

>>287
例えばz[k]=x+y^kとおいて相異なるk lをとるときz[l]がF(x^p, y^p, z[k]) に含まれないことを示しておく。
具体的には、もしそうでないとすると整式P(U,V,W)でWについての次数がp未満で

z[l] = P(x^p, y^p, z[k])

となるものがとれるが係数比較で矛盾。
とくにF(x^p, y^p, z[k])の全体は全て相異なる。
とか。
係数比較のくだり精査してないからダメかも。
だったらゴメン。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 10:40:24.42

>>288
ちょっと修正。
そうでないとすると0でない整式P(U, V, W)とQ(U,V)で

z[l] Q(x^p, y^p) = P(x^p, y^p, z[k])

が存在して以下同文。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 13:28:59.94

>>275
妬んでる事をわざわざ書くなよ

**とある私大の苦学生** · 2019/07/18(木) 18:39:31.28

【至急超難問】
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。

どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 20:09:04.66

割り込みすいません。
40人のクラス全員の誕生日が異なる場合の数は、
365C40
でだめなんですか？
A君の誕生日を確定させる必要はあるんですか？
第一学習社の教科書に疑問を持ちました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 20:53:39.73

>>292
迷ったら人数を２人とか３人に絞って考えるといいです。
A, Bの2人で考えると
Aが取りうる日付は 365 通りあり、その其々に対して Bは Aとは異なるつまり 364の選択肢がある。
よって、365*364 ( = 365P2 ) 通り。

これを 365C2 ( = 365P2 / 2! ) で考えるという事は、
例えば {A: 4/1, B: 12/31} と {A: 12/31, B: 4/1 } のパターンを区別しないという事です。
特に記載がなければ、普通は区別すると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 21:54:24.39

10個の玉と３個の箱がある、どの箱にも必ず1個以上の玉が入る、という設定の問題で質問です
玉に区別がなく箱に区別がある場合10個の〇の間に2個の|を入れる場合と同じで9C2＝36通り
玉に区別がなく箱にも区別がない場合(118)(127)(136)(145)(226)(235)(244)(334)で8通り
が答えです
しかし、これでは区別がある場合から区別をなくして3!で割ったもの（＝6通り）と一致しません
なぜでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 21:57:48.48

118とか334が3!?

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 23:15:25.26

同じ箱：異なる箱
{118} : (118) (181) (811)
{127} : (127) (172) (217) (271) (712) (721)
{136} : (136) (163) (316) (361) (613) (631)
{145} : (145) (154) (415) (451) (514) (541)
{226} : (226) (262) (622)
{235} : (235) (253) (325) (352) (523) (532)
{244} : (244) (424) (442)
{334} : (334) (343) (433)

(参考)
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/10_balls_boxes.htm

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 23:19:33.26

円Cに内接する四角形PQRSは、PQ=a、QR=b、RS=c、SP=dであり、対角線PRの長さはe、QSの長さはf である。
Cの半径をa,b,c,d,e,fのうち必要なものを用いて表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 23:23:03.71

αを複素数の定数、sを実数の定数とする。複素数zについての方程式
z(z-2α)+α(αz-z')=sz
を解け。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 23:24:49.45

>>294
÷6で答え出すなら
n(aの箱=bの箱)=4
n(aの箱=cの箱)=4
n(bの箱=cの箱)=4
なので
(36+4+4+4)÷6=8

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/18(木) 23:34:55.25

>>297

半径＝abe/√{(a+b+e)(a+b-e)(a-b+e)(-a+b+e)}
※一例で、他の文字でも表せる。

**とある私学の苦学生** · 2019/07/19(金) 01:47:53.43

再掲すみません。どなたか分かりませんか？？

【至急超難問】
数理経済、その中でもフランス現代思想の数理表現の問題です。
問「欲動を多様体、構造を構造群で表現した時、商空間が表現するものは、欲動を構造で分類した仮象である」
これを論証せよ。

どなたか分かりますか？
とある私大の経済系の授業で出題され、理解できた学生には大幅加点というシステムなのですが誰も分からず、yahoo知恵袋でも撃沈し、一縷の望みをかけ皆さんを頼らせて頂こうかと…
宜しくお願い致します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 02:17:01.03

物理学部2年の者です。複素関数論の問題です。

z∈ℂ\[0,1]に対し、f(z) = ∫₀¹ dt/(t-z)とする。
(1)f(z)の連続性を示せ。
(2)次の極限を求めよ。ただし、s∈[0,1]
(a)lim[ε↓0]f(s+iε) (b)lim[ε↓0]f(s-iε)

よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 03:43:58.12

>>301

これは困りましたね。
論証だから自由に考えを述べればいいんじゃないかな。

人間の脳の根本は情動（欲動＋愛情）で動きます。
脳に解剖学的な座標機能領野に関数と座標を導入します。

商空間は、脳機能探索の期待的表現である。

これは、かって日本最高の能楽者である松本元が刺激を与えた構想です。
彼の死とともに忘れられようとしていますが、根源的な情報処理学者は
これを追求しています。

その道の専門家「いるとしたら、理研脳センターあたりかな」に聞いてみるといいです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 07:34:26.63

ソーカル事件もあったのにまだそんなことしてるの

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 09:02:35.26

>>301
商空間を構成する類の一つひとつは作用群の軌道である、ナンチャッテ数学の言葉遊びか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 09:06:10.46

さすがに釣りだろ、本気にしてこれだから文系はwとかやらかさないほうがいいよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 13:12:28.40

普通のオーソドックスな新古典派近代経済学でも無差別曲線という名の同値類割り商空間でミクロ経済学の議論するんだけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 13:20:08.27

人間も含めた動植物、生き物の生存と繁殖を目指した欲動も
ミクロ経済学も
ゲーム理論で一般に議論できる。

ナッシュ均衡がESS進化的安定戦略と同じものだと発見されたのがそういうことだからね。
利己的な遺伝子とおカネ絡みのミームの違いはあれど。

この手の議論は第二次大戦後の行動科学という分野の隆盛に対応するのが
戦後京都学派ノイマン氏近似
じゃないや
戦後京都学派の今西錦司以降の棲み分け≒ニッチ生態学的地位的な動物行動学だろうね。

おフランス哲学じゃなくて。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 13:25:30.89

「選好」として区別しない無差別だというのが一般には高次元でも議論できる無差別曲線だから。

あんまり専攻内容として食わず嫌いが少ない方だと自分自身自覚してるがおフランス現代思想の先公は感心せんな。自分が分かってない分野を学生のテストに出すなよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/19(金) 13:54:33.08

前>>297Cの半径をrとすると、正弦定理より、
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
￣]/＼_____________
__/＼/　　　　　　/|
￣＼/　　　　　　/ |
￣|＼__________／| |__
］| ∥￣￣￣￣∥ | / /
＿| ∥ □　□ ∥ |/ /
______________∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
］　　□ 　　□　 ∥ /
_____∩∩_________∥/
￣⊂(-.-))⌒ つ~￣￣
.　　　｀υ　__　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　前>>207

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/19(金) 14:07:00.54

前>>310追加、訂正。>>300たしかにこうなる。
Cの半径をrとすると、正弦定理より、
2rsin∠PQR=e
r=e/2sin∠PQR――①
余弦定理より、
cos∠PQR=(a^2+b^2-e^2)/2ab
sin∠PQR=√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
①に代入し、
r=e/2√{1-(a^2+b^2-e^2)^2/4a^2･b^2}
=abe/2√{a^2･b^2-(a^2+b^2-e^2)^2/4}
=abe/√[4a^2･b^2-{(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√[4a^2･b^2-{a^4+2a^2･b^2+b^4-2(a^2+b^2)e^2+e^4}]
=abe/√(2a^2･b^2-a^4-b^4+2a^2･e^2+2b^2･e^2-e^4)
=abe/√(2a^2･b^2+2a^2･e^2+2b^2･e^2-a^4-b^4-e^4)
=abe/√(a+b+e)(-a+b+e)(a-b+e)(a+b-e)
￣]/＼_____________
__/＼/　　　　　　/|
￣＼/　　　　　　/ |
￣|＼__________／| |__
］| ∥￣￣￣￣∥ | / /
__| ∥ □　□ ∥ |/ /
____∥________∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
］　　□ 　　□　 ∥ /
_____∩∩_________∥/
￣⊂(-.-))⌒ つ~￣￣
.　　　｀υ　__

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 15:13:36.14

>>300
ヘロンの公式に似ていますが、導出過程で使うのでしょうか
私はこの問題が解けませんでした。三角比で計算していたので、原理的にはヘロンの公式と同等のことをやっているはずなのですが

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 15:45:41.48

エレガントな解答にこだわらないなら三辺わかってる三角形四つもあるんだからどれ使ってもできんじゃないの？
R=(1/2) 辺×sin 対角で余弦定理で cos 対角も出せるし。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 17:52:19.07

>>302
自己解決しました、すみませんでした

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 20:07:37.43

>>314
答え気になる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 22:59:04.11

すいません、

fを多項式とする

f(y)-f(x)は(y-x)で割り切れることを因数定理より示せ。

これが分かりません
バカですみませんがよろしくお願いします
因数定理は理解してますが使いこなせません

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 23:00:22.93

全項書き出して同じ係数を持つ同じべきの各項を引いてくくれば、全てy-xでくくれて割り切れる、のはわかりますが、因数定理との結びつきがわかりません…

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 23:08:49.83

yを定数としてfy-fxをxについての式だと見る
fy-fxのxにyを代入して0になるのが明らか、だからx-yを因数に持つ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 23:09:40.77

xを定数と思ってg (y) = f (y) - f (x) とおけ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 23:19:33.81

隣り合う(=　ad-bc=1が成り立つ)2分数a/bとc/d(文字は全て自然数)の間にある分数の中で分母が最小であるのは(a+c)/(b+d)であることを証明せよ。

お願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/19(金) 23:26:13.01

farey 数列でググりたまえ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 00:25:28.01

>>298
自己解決しませんでした。

α=0 のときは z(z-s)=0,　z=0,s

α≠0 のとき、与式から
　(z -2α + αα-s)z = αz'
ここで
　z = r･e^(iθ)　　　(r,θは実数)
とおくと
　z = 2α -αα + s + α･exp(-2iθ)
さて、どうするか･････

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 02:15:53.15

1次と2次のキュムラントがE[X]とE[(X-μ)^2]に一致するのはなぜなのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 05:33:26.78

xを定数だと思って f(y) - f(x) を y-x で割る。
　f(y) - f(x) = (y-x)Q(x,y) + R(x),
ここで yにxを代入すれば
　R(x) = 0,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 06:12:43.63

>>298
z′はzの共役複素数ですか？
それならば与式の共役な式
z′(z′-2α′)+α′(α′z′-z)=sz′
に与式をz′=の形に変形したものを代入すると力業でおそらく解けます

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 06:29:30.98

>>298
与式をαz′/z=、共役な式をα′z/z′=にして2式をかけ算した方がよかったですね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 10:57:05.91

5715
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:04:33.45

>>312
ヘロンの公式と似ているのは、余弦定理、正弦定理、
sin^2＋cos^2＝1を使って色々するからかな。
答えをヘロンの公式みたいにa+b+e＝Sとかと置いて表すと、
少し簡単な形にはできるね。

>>297の問題のポイントは、
結局、どの長さが独立して決まって、
どこからが外接円の半径に影響しない長さになるのかに気づくことだろう。

円上にある３点が決まってしまえば、円は一意に決まる。
それは、例えば、△PQRが決まるということと等しい。
△ＰＱＲが決まれば、頂点Ｓの場所は自由に決められない。
つまり、△ＰＱＲの外接円の円周上のどこかにＳを取らないといけなくなり、
どこに取ったとしても、外接円の半径は不変である。

だから、答えは、（例えば、）a、b、eだけで表せないとおかしいということに気づく。

この問題は要するに、「円に内接する△ＡＢＣの辺の長さをa、b、cとしたとき、
外接円の半径をa、b、cで表せ。」
という問題と同じことをすればよいと気づけば、だいぶ話は簡単になる。

正弦定理と余弦定理（とsin^2＋cos^2＝1）を組み合わせて、
外接円の半径を辺の長さで表せばよい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:12:18.23

>>323
log( E[exp(tX)] )
= log( 1 + tE[X] + tt/2! E[XX] + ... )
= (tE[X] + tt/2! E[XX]) - 1/2 (tE[X] + tt/2! E[XX])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[XX] - 1/2 tt (E[X])^2 + ...
= tE[X] + tt/2! E[(X-μ)^2] + ...

∵ E[(X-μ)^2] = E[XX -2Xμ + μμ] = E[XX] - 2μμ + μμ = E[XX] - E[X]^2

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:39:48.66

受験用語だと思いますが「解けない漸化式」というのがあります。例えば、
a[1]=2
a[n+1]=na[n]/(n+a[1]+...+a[n])
のように一般項が初等的に表せないもののことだと思うのですが、このような数列で、極限が初等的な形で求まるかどうか判別する方法はありますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 11:58:45.27

0 < a[n+1]=na[n]/(n+a[1]+...+a[n]) =a[n]/{ 1+(a[1]+...+a[n])/n } < a[n]
下に有界な減少数列なので収束する。収束値をα とすると
→ α = α /(1 + α) より ∴ α = 0　( (a[1]+...+a[n])/n → α を使った )

一般的な判別方法なんて無い。
手持ち道具 (例では下に有界な減少数列、平均の収束) を使って出来るだけの事をするしかない。
他にも収束値αが存在すると仮定して矛盾を引き出せれば、発散or 振動が言える。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 12:10:03.49

>>315
z=a+ibと置いて実部と虚部に分けてそれぞれ連続であることを示しました、あんまり綺麗なやり方ではないと思うのですが…
原始関数であるLogを使った解法も考えたのですが、僕は上手くいかなかったです…

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 12:10:50.22

分野としては差分ガロア理論で、定理としては漸化式の解を添加した差分体がリウヴィル拡大になるかどうかかな
(確か差分方程式の場合は解を添加すると体どころか整域ですらなくなる場合があるから差分体では不十分かも)

ただし具体的にガロア群(代数群)を計算するのは線形のときですらそれ自体難しい問題だし、非線形なんてまだまだ発展途上の段階

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 13:20:49.91

>>332
f(z+h) - f(z) = ∫₀¹ dt 1/(t-z-h) - 1/(t-z) = ∫₀¹ dt h/{(t-z-h)(t-z)}

L := inf { |z-t| | t ∈ [0,1] } ( = distance{ z, [0,1] } ) と置き
任意のε (正数) に対して, | h| < min( L/2, ε L.L/2 ) となるように h を選べば
・| t-z-h | = |(z-t) +h| ≧ |z-t| - |h| ≧ L - L/2 = L/2
・|f(z+h) - f(z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(t-z-h)(t-z)| ≦ ∫₀¹ dt |h|/|(L/2).L| = |h|/|(L/2).L| < ε
よって f(z) は連続である.

∫₀¹ dt 1/(t-z) = log(1 -z) - log(0-z) = log|1 -z| + i arg (1-z) - log|-z| - i arg(-z)
偏角arg(...) の選び方に注意すれば後半は簡単

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 17:42:05.61

>>334
すごい、これεδ論法で解けたんですね……ありがとうございます！

なんとなくmin{L/2, εL.L/2}を考えるところが連続関数の商の連続性の証明に似てる気がします……

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 19:44:40.78

　αz'/z = z -2α + αα -s,
その複素共役は
　α'z/z' = z' -2α' + α'α' -s,
辺々掛けて平方根すると
　|α| = | z -2α + αα -s|
だから
　z -2α + αα -s = α e^(ib),
さて、どうするか････

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 21:57:59.67

>>321
ファレイ数列で暫く色んなサイト見たんですけど行列式とか使っていてよく理解できないです
与えられた式から変形などで証明はできないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 22:06:35.24

>>337
大学への数学の増刊の新数学演習に載ってたはず

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 22:12:37.81

>>337
字面だけ追ってけば証明は理解できるだろうけど、それで終わりではダメだろ？
キチンと(a,b), (c,d)と原点を3頂点に含む平行四辺形の周、内部に格子点が4個しかないこと、それがどのように主張につながっていくか理解しないと。
行列は数学続けるなら必須なんだから勉強しとけよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/20(土) 23:17:33.39

>>339
確かにそれも大切だと思います。
しかしまだ高校生なので今の知識と実力で理解できる解法では解けないのかな、と思って質問した次第です。

平行四辺形を利用する方法では自分では恐らく少し改題されただけで解けなくなりそうなので式変形などから解ける方法を探しています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 00:21:41.58

間にある分数を p/q とおく
分母を払って差をとってそれらを s，t とおく
その等式を p，q について解く

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 03:51:47.78

f(x,y)=|xy|が偏微分可能な点ってどう求めればいいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 04:01:41.53

〔類題〕
円Cに内接する四角形PQRSは、PQ=a、QR=b、RS=c、SP=dであるが、内部は立入禁止である。
Cの半径を a, b, c, d を用いて表せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 04:08:17.45

答えは
　半径 = √{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)/(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
らしい。
なお、対角線の積は ef = ac+bd　(トレミーの定理)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 10:42:13.72

>>341
c/d<p/q<a/bとする(但しad-bc=1)
p/q-c/d=(dp-cq)/dq>0
a/b-p/q=(aq-bp)/bq>0

dp-cq=s,aq-bp=tとおく
2式を連立して解くと
q=bs+dt
代入して
p=as+ct
よって
p/q=(as+ct)/(bs+dt)
各数は自然数なので明らかにs=t=1で最小でありそのとき
p/q=(a+c)/(b+d)

合ってますか?

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 10:47:12.65

そのp/qが既約であるのは何故？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 11:59:56.84

>>346
p/q=(a+c)/(b+d) の分子分母の最大公約数をgとおくと
互いに素な自然数mnを用いて
a+c=gm,b+d=gnとおける
このときp/q=m/nとなりp=m,q=n
b+dが最小となるからn=b+dであり、g=1
したがって既約

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 13:11:40.11

>>342
絶対値が微分可能な点

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 17:17:32.99

微分不可能とはなんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 17:23:48.93

>>347
p=a+c, q=b+d のとき既約を証明してもダメなのでは？
p/q はそれ以外のc/dとa/bの間の元なんだから。
つまりp=as+ctとq=bs+dtのGCDが1を言わないと。
一般にはad-bc=1から行列[[a,b],[c,d]]の定める一次変換がZ係数で可逆なのを利用して
gcd(p,q)=gcd(1,1)=1
といくもんだけど行列使いたくないとか贅沢なこと言ってるからな。
もちろん行列使えば一発で済む事をグチャグチャ初等的な変形だけでも示せるだろうけど、そんな事してなんの役に立つものやら。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 18:42:20.48

>>330

　a[1] = 2,
　a[2] = 2/3,
　a[3] = 2/7,
　a[4] = 18/125,
より
　a[1] + a[2] + a[3] + a[4] = 3 + 253/8128 > 3,
n≧4 のとき
　a[n+1] < a[n] * n/(n+3) < a[n] * {(n+2)/(n+3)}^3,　　　　　　････ (*)
　a[n+1](n+3)^3 < a[n] (n+2)^3 < ････ < a[4] (4+2)^3 = 31.104
　∴　a[n] < 31.104/(n+2)^3,
　∴　Σ a[k] は収束する。(α=0)
　s = a[1] + a[2] + ････ = 3.35753325

n >>1 では
　a[n] ≒ 37.9/n^(s-1),
　a[1] + a[2] + ････ + a[n] ≒ s - 16.1/n^s,

*　{1,1,n/(n+3)} で GM-AM すると n/(n+3) < {(n+2)/(n+3)}^3,

**118** · 2019/07/21(日) 20:01:51.47

長くては困るということでより実用的な機能を追加しておいた
https://pastebin.com/hzdfNr6t
https://i.imgur.com/maFfQwQ.jpg

引数無しなら前回といっしょ
1つの引数で、それが素数か判定。素数ならそれを返す。倍数なら返さない。
2つの引数で、その2つの区間の素数を書きだす。1万以下だけ必要でもコードに手を入れる必要はない。

数の上限は大体上のjpg画像あたりが限界だ
ちなみに引数無しでのtxt 出力は5GBで、7zipすると500MB程度に収まる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 20:52:27.04

>>352
俺は PARI/GP って数式ソフトを電卓代わりに使ってる。これオススメだよ。
かなり軽量だし数論関係のコマンドも充実してる。
ちょっとしたプログラムも書けるからそういう欲求にも答えてくれると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 21:15:03.04

>>353
thanks
GPL のマルチプラットフォーム言語か

個人的には電卓なら Common Lisp が気にいっている
---
しょせん素数ジェネレータはおみやげだ
昔の自分は大きな素数が書いてある素数表を貴重だと思って買ったことがある
しかしこれがあれば広辞苑のようなぶ厚い素数表が出版されたとしても、
買う必要がない
純粋なおみやげなんだ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 21:19:08.61

PARI/GP 、例えば...
? for(k=0,2000, n=10^100+k; if( isprime(n), printf("prime! 10^100 + %d\n",k)))
prime! 10^100 + 267
prime! 10^100 + 949
prime! 10^100 + 1243
prime! 10^100 + 1293
prime! 10^100 + 1983

こういうアホな思いつきでもすぐ実行できるのが楽しい
しかもメモリが許す限りの任意桁長の計算が可能

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 21:40:51.32

>>355
その大きな数で実用的だとすると
計算済みの素数記録してキャッシュにしてるかんじだな
(素数定理によると約230倍の速度で計算しているはず)
メモリ消費は心配だけど、非常に便利だね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/21(日) 22:13:31.67

Σ[k=0,n] {C(n,k)}^m っていう和がわかりません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 00:27:53.70

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%CE%A3%5Bk%3D0,n%5D+%7BC(n,k)%7D%5Em
先生も知らないって

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 00:29:31.98

優収束定理使いたいんですけど|n*sin(x/n)*{x*(x+1)}^(-1)|を上から抑える関数の例って何かありますか

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 00:50:38.50

1/|x+1|　とか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 01:59:18.17

>>357
上限なら・・・・

・nが偶数の場合
　k = n/2 のとき最大。
　C(n,n/2±j) = C(n,n/2) n(n-2)････(n-2j+2)/{(n+2)(n+4)････(n+2j)}
　< C(n,n/2) {n/(n+2)}^(j^2)　　　　　　････ (*)
　= C(n,n/2) x^(j^2),
　(与式) < C(n,n/2)^m・θ_3(0,x^m)
　ここに　x = n/(n+2),
　(*)　(n-2j+2)/(n+2j) ≦ {n/(n+2)}^(2j-1) = x^(2j-1),

・nが奇数の場合
　k = (n-1)/2,　k = (n+1)/2 のとき最大。
　C(n,(n+1)/2+j) = C(n,(n-1)/2-j)
　= C(n,(n+1)/2) (n-1)(n-3)････(n+1-2j)/{(n+3)(n+5)････(n+1+2j)}
　< C(n,(n+1)/2) {(n-1)/(n+3)}^{j(j+1)/2}　　････ (**)
　= C(n,(n+1)/2) y^{j(j+1)},
　(与式) < C(n,(n+1)/2)^m・(y^m)^(-1/4)・θ_2(0,y^m)
　ここに　y = √{(n-1)/(n+3)},
　(**)　(n+1-2j)/(n+1+2j) ≦ {(n-1)/(n+3)}^j = y^(2j),

　θ_2(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^{(j+1/2)^2}
　θ_3(0,z) = Σ[j=-∞,∞] z^(j^2)
は楕円テータ函数

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 02:06:46.19

>>351 (訂正)

n >>1 では
　a[n]　～　37.9/n^s,
　a[1] + a[2] + ････ + a[n]　～　s - 16.1/n^(s-1),

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 03:08:23.74

添字演算についてです。vを3次元ベクトル
w=rot(v)とするとき
(|w|)^2を添字演算によって求めてください。

(w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ijk)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j)
から進めません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 10:00:31.50

>>363
・(ε_ijk)(ε_ij’k’) = δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’
↑この公式を覚えておくと
ベクトル解析の公式で面倒なやつの大半が一瞬で導出できるようになります。
(自力で「発見」した時はどうして教えてくれなかった！と思いました)

|w|^2 = (w_i)(w_i)=(ε_ijk)(ε_ij’k’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (δ_jj’δ_kk’ - δ_jk’δ_kj’)(∂v_k/∂x_j)(∂v_k’/∂x_j’)
= (∂v_k/∂x_j)(∂v_k/∂x_j) - (∂v_k/∂x_j)(∂v_j/∂x_k)
= tr( M(M^t - M ) )　(行列: M_ij = ∂v_j/∂x_i と置きました)
最後の変形は必要なのか分からないけど添え字を消したいならこんな感じという事です

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 10:28:46.67

>>356
100桁くらいなら既存の素数判定法で十分な速度は出るんじゃないのかな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 10:37:20.53

>>359
すいません|n*sin(x/n)*{x*(x+1)}^(-1)|じゃなくて|n*sin(x/n)*{x*(1+x^2)}^(-1)|でした

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 10:59:56.00

>>365
調べたらisprime関数は1000桁の判定に15分～30分かかる、と書いてあったのを見つけた。

WolframAlpha先生に試しにisprime 10^1000+453を聞いたらすぐに素数と返してきたけど、これはどうやって判定してるのかねえ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 12:01:09.41

>>367
すでに計算済みのキャッシュ層があるんでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 12:30:18.88

上の方で PARI/GP を推しましたが、今は pythonで何でもできますね。そういう時代なんですね。
bpython 等のREPL(対話式インターフェース) で、電卓代わりに使えますし、plotも綺麗ですし。
PARI/GPの利点は「ほん少しだけ起動が早い」「追加パッケージのinstall&import が不要」くらいでしょうか。

import time, gmpy2 # gmpy2 はググって見つけた数論パッケージ
t=time.time()
li= list( filter( lambda n:gmpy2.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000) ]) )
t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10*3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
time: 105.01 msec

PARI/GP で同じように 1000桁バージョンやらせたら数分待っても応答無しなので諦めました。
大半の数が直ぐに素数判定できるんですが、判定が苦手な数がポツポツ混じっていました。
isprime(10^1000 + 453) \\ 例えばコレとか... Wolfram先生や python のはアルゴリズムが異なるようですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 12:33:51.78

例えば PARI/GP の場合
? isprime(10^1000 + 453)
*** isprime: Warning: increasing stack size to 16000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 32000000.
*** isprime: Warning: increasing stack size to 64000000.
{これ明らかに途中でキャッシュを積み増ししてるんですが、その後応答無し}

Wolfram先生はキャッシュ利用以外にも何かやってると思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 13:24:17.37

>>369
そのPythonはあまりに速すぎるけどやっぱりキャッシュなのかな？

|length: 2 {10^1000+0...10^1000+1999 の範囲に素数は2つだけ}
もうひとつは10^1000+1357
これもWolframAlphaは即座に判定する

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 13:51:20.70

>>371
wolframengine インストールしてやってみたが
異常な早さだね
オフラインにしても変らないから鯖のデータベースに問いあわせてすらない

2からsqrt prime までの素数で試しに割っていく
ような速度じゃない
やはりハッシュ、素数をキーとしてそれが素数か否かを計算済みのハッシュを
調べているような速度だ
ファイル化のために大きなn進数を使っているのか、独自バイナリを使っているのか
目星はつかないがそういうことだと思う早すぎる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 14:05:50.19

>>371
結局、その二つが素数なんですね。素数じゃない事の判定は一瞬で。
やはり根本的なアルゴリズムが違うのでしょう

> あまりに速すぎる
ミリ秒表示で t*(10**3) とするべき箇所が t*(10*3) (= t*30 て...) になってました。

import time
import gmpy2 as gm
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: gm.is_prime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 3529.49 msec {それでも速い}

import time
import sympy.ntheory.primetest as sm # gmpy2 よりも sympyパッケージの方が有名 (たぶん)
t=time.time(); li= list( filter( lambda n: sm.isprime(n), [10**1000+k for k in range(2000)])); t=time.time()-t
print(f" length: {len(li)}\n time: {t*(10**3):7.2f} msec\n" )
--->
length: 2
time: 5270.99 msec {ちょっとだけ遅い。アルゴリズムが異なるのか微妙な実装テクニックの差なのかは不明}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 14:23:39.36

>>373
素数じゃないよ倍数だよ
という判定なら
6k +-1 の形をしていないとか
ある程度大きい時、1桁目が1,3,7,9では無いとか
の判定混ぜれば早くできる

数が大きいと素数じゃないほうが大きいので、
そういう早期に倍数判定下せる方法盛るほうが
早さを出せるはず

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/22(月) 14:33:22.53

PARI/GP は数論関係のソフトウェアとしては老舗なので、そういうのやってないはずがないと思うんですけどねえ。