分からない問題はここに書いてね454

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 22:59:21.29

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね453
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1558041041/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 23:16:28.69

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 23:27:14.34

答えが分かってる問題を書く場所でもないがな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 23:33:42.68

自然数の複雑度を流行らせたい
ある自然数nを1と+と×と()を用いて表すとき最小の1の個数をω(n)とする。
自然数n,kについてω(n^k)＝kω(n)か？
素数pに対してω(p)＝ω(p-1)+1か？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/06(土) 23:48:25.95

ちなみに、集合W(n)をW(1)＝{1}、W(2)＝{1,2}、W(3)＝{1,2,3}、n≧3について
W(n+1)={∀a∈W(n),∀d(dはaが合成数のときのaの約数),∀e(eはaが素数のときのa-1の約数)/
a, a+a/d, a+(a-1)/e}
とすると、ある自然数kに対して、kが集合W(n)に含まれて、i≦kを満たす全ての自然数iに対して
kがW(i)に含まれないことと、ω(k)＝nであることは同値です

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 00:44:49.01

>>4
ω(n^k)＝kω(n)の反例
ω(11)=8 ;11=(1+1)×(1+1+1+1+1)+1
ω(11^2)=15 ;11^2=(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1+1+1)+1

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 01:25:08.29

>>6
反例ありがとうございます因みにn＝3のときには成り立っていることは証明されています数学セミナーにありました

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 01:53:15.88

>>5の追記です
d≠aかつe≠a-1です

【底辺】 · 2019/07/07(日) 10:58:05.44

やっぱり部分積分じゃない。
変数がrとθの2つあるでなぁ。
f(x)g(x)みたいに一つの変数xじゃなくて変数が2つある場合だから、この式じゃないと思う。
∬[r=0～　][θ=0°～　]――drdθみたいな感じ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 11:13:55.05

定積分I[x] = ∫[1 to x] 1/{xln(x)} dx に対し、
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増減、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 13:48:06.99

I[x] = ∫[1 to x] 1/{xln(x)} dx =
= lim{ε→+0} ∫[1+ε to x] 1/{xln(x)} dx = ln( ln(x) ) - lim{ε→+0} ln( ln(1+ε) )
という理解でOK？これ発散しますよね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 17:45:01.21

>>9
h(r,θ) = 2(1 - r･cosθ),
を入れると
v/2 = ∫[0～1] ∫[0～60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr
　= ∫[0～1] ∫[0～π/3] 2(1-r･cosθ) dθ rdr
　= ∫[0～1] 2r dr･∫[0～π/3] dθ - ∫[0～1] rr dr･∫[0～π/3] 2cosθ dθ
　= (π/3) - (1/3)[ 2sinθ ](0→π/3)
　= (π-√3)/3,
部分積分しなくても出る。

>>10
J[x] = ∫[e to x] 1/{x･ln(x)} dx = [ ln(ln(x)) ](e to x) = ln(ln(x)),
は収束。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 18:16:20.38

長方形ABCD（AB<AD）の内角∠Aの2等分線をLとする。
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 18:58:14.27

P=A のときPC=BD

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 19:24:02.44

>>13
P≠Aです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 19:28:50.25

((2n-k)!2^k)/(2n)!　に根が存在しないのはなぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 19:42:37.26

>>14
P≠Aです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 20:47:14.80

スレチだったらすみません。

ベッセル関数が定常波、ハンケル関数が進行波を示すという意味がよくわからないのですが、どういった風に考えれば良いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 21:08:37.80

わからないんですね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 21:10:15.27

>>19
はい、わかりません

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 22:23:26.07

あんま興味ある人ないかもだが集合論に関して教えてくれ
ラッセルのパラドックスを生む「集合」Rを定義すると矛盾が導かれることは有名だ
背理法を使った証明において、何らかの「集合」Xを導入して矛盾を示したとする。
この時、XがRと同じように定義するだけで矛盾を導く「集合」ではないことを証明する必要があると思うんだが、
これを行うにはどういう手順を踏むのが普通なのか教えてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 22:42:58.23

>>21
そのXが利用してる公理的集合論の公理から正しく存在が保証されてるか確認すればいい。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 22:56:57.22

>>22
ありがとう。やっぱりそれしかないか
空集合か少なくとも一つ集合を含むことを言えればOKとかそういう便利なのがあればよかったんだが。
公理に戻るのは大変なので、専門書から存在証明がされている集合の定理を探してみるよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 23:08:11.74

>>13
　A(0,0)　B(b,0)　C(b,d)　D(0,d)　E(b+d,b+d)
とおく。
Cを中心とし半径BDの円周をKとおく。
AC = BD, CE=BD　より　A,E ∈ K
∴ 　K∩L = {A,E}　　　←　円と直線の交点は高々2つ

P∈L とすると
　PC=BD　⇔　P∈(K∩L)　⇔　P∈{A,E}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/07(日) 23:33:29.35

ハンケル関数は、円筒波（または2次元空間の波）を表わす解であり、内側／外側に伝搬する波を表わす。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 00:02:24.63

>>25
ありがとうございます。
ただ、円筒波を表すと言われても、あの形でなぜ波？となるのですが。
ベッセル関数とノイマン関数の線形結合させたのがハンケル関数のはずですがそもそもなぜ、ハンケル関数を導入したのかと。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/08(月) 13:32:00.19

前>>9
>>12
1-rcosθがどこかわかればわかると思うんです。
1-rcosθの1は単位円の半径ですか？
rcosθは中心から距離rの地点の中心からの距離ですか？
これを1から引くということは、
1-rcosθは中心からr、扇形の端からθの地点の単位円周上からの距離ですか。
これを2倍して、
2(1-rcosθ)は高さですか？　つまり高さ1の単位円柱が正四面体PABCの側面で外に削り取られた蒲鉾外の高さ。
でも断面が1:2:√5の直角三角形になるのはθ=π/3のときだけのはず。
h(r,θ)の地点で2倍してるのはなぜでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 14:06:28.97

f(x)=3xx /(2xx +1)とする。
0<z<1、a(1)=z、a(n+1)=f( a(n) )で定める時、
zの値に応じたlim(n→∞) a(n)を求めよ。

これお願いします　
某大学の入試ですが、f'(x)が1を越えることがあるので普通の平均値の定理を使った解法では解けません
発想の順序も教えてもらえたら嬉しいっす

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 16:06:08.32

0<a≤b、0<R、とする。
また領域D、領域Eを以下のように定める。

領域D:
O(0,0),A(a,0),B(a,b),C(0,b)を頂点とする長方形OABCの周上および内部

領域E:
O(0,0)を中心とする半径Rの円の周上および内部

（1）2つの円C_1とC_2を、領域Dからはみ出ないように、かつC_1とC_2が互いに外接するか外部にあるように置く。
C_1とC_2の面積の合計が最大になるような置き方を述べよ。

（2）2つの円K_1とK_2を、（1）と同様に領域E内に置く置き方を述べよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 18:50:01.07

微分についての質問です

x=sinθとおいたとき両辺をθで微分すると
dx/dθ＝cosθとなります
ここで、記号的には「xを微分する」という操作で「xの前にdをつけて、さらに分母にdθをつける」
ことを行いました
その後dx=cosθdθとおいて積分する方法がよく用いられますが、これが気持ち悪くて仕方ありません
dx/dθにはxをθで微分するという意味が与えられているだけで、分数の概念ではありません。
それなのに分数と扱って分子と分母を都合よく切り分けて計算してよいのか疑問です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 19:02:46.57

>>30
高木貞治先生が解析概論でこの記号は割り算と書いています
微小量に対する微小量の変化を見ているのが本義なので実際本質的意味は割り算です

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 19:22:09.85

Aが0でない定数のとき、
exp(x)=A(1+x)
上記の方程式解ける方いたら、教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 20:24:52.09

>>26
なぜ波か？それは
2次元波動方程式:
　{ (∂x)^2+(∂y)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
　Ψ ∝ exp(-iωt),　k=ω/c
この一般解(極座標表示) が
　Ψ(r,φ,t) = Σ ( a[n]. J_n(kr)+ b[n]. Y_n(kr) ). exp(inφ). exp(-iωt) 　
のように表せるからです。
J_n, Y_n は定常波 (https://imgur.com/a/CKaxlNo)
H1_n = J_n + i Y_n は外向き進行波 ( https://imgur.com/a/Lrq5Lua )
H2_n = J_n - i Y_n は内向き進行波になっています。
おまけ ( https://imgur.com/a/YPSIGd0 )

3次元波動方程式の場合
　{ (∂x)^2+(∂y)^2+(∂z)^2 - (∂ct)^2 } Ψ = { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r)(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
　Ψ ∝ exp(ihz).exp(-iωt),　k^2 = (ω/c)^2 - h^2
一般解(円筒座標表示): Ψ = Ψ(r, φ,z, t) = (略)
と、まあ 2次元極座標とほぼ同じ扱いになりますが
k^2 < 0 になる場合は変形ベッセル方程式となります. (解は I_n, K_n で表せる)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 20:28:48.06

訂正
誤: (1/r).(∂φ)
正: (1/r^2).(∂φ)^2

∂x, ∂ct, ∂φ, etc. は ∂/∂x , ∂/(c∂t) , ∂/∂φ, etc. の略記です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 20:36:24.68

>>30
記号が意味そのものではないとは確かなことなんですけど、長い微分積分の歴史の中でそういう表記が生き残ってきたのにはやはり理由があるんですね

分数と考えても良いのですよ

33 · 2019/07/08(月) 20:45:44.48

追加
Y_n の定常波 ( https://imgur.com/a/LoX4UdK )

plot は python のmatplotlib を使用した。
ほんの40行くらいで 3次元プロット, latex形式でタイトル入れ, gif アニメ生成までやってくれた。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 20:54:52.75

>>36
これ凄すぎますね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 21:18:11.66

>>30
高校生だろうから深く突っ込む必要はないけど、微分形式というものを考えるとdyやdxなどを単独で扱うことができます
で、ポアンカレの補題というもの(の特殊な場合)から適当な領域上でdy=F(x)dxとなる関数Fが存在することが知られています
実際にはこの関数F(x)が導関数dy/dxですから、この記号dy/dxを「dy=F(x)dxをdxで割ったもの、つまり割り算」と見て差し支えありません

一方で微分を割り算として捉えるとまずい場合もありますが、それは偏微分(多変数関数の各変数に関する微分)というもので浮き彫りになると思います

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 21:34:21.01

>>30
分母を払うのはただのニーモニックで、実際には置換積分をやっただけだよ
割り算とか分数とかは忘れな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/08(月) 23:35:26.34

>>4
ω(p)＝ω(p-1)+1 の最小の反例は p=353942783 であるらしい

33 · 2019/07/09(火) 01:29:02.81

再訂正
誤: { r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (1/r).(∂φ) + k^2 } Ψ = 0
正: { (∂r)^2+ (1/r).(∂r) + (1/r)^2.(∂φ)^2 + k^2 } Ψ = 0

r^2 を掛けて
{ r^2.(∂r)^2+ r.(∂r) + (∂φ)^2 + (kr)^2 } Ψ = 0
Ψ = f(kr) exp(inφ) exp(-iωt) と変数分離(一価性からの要請により n は整数)、ξ=kr と置いて
ベッセル方程式: { ξ^2.(∂ξ)^2+ ξ.(∂ξ) + (ξ^2 - n^2) } f(ξ) = 0
が得られます。
二階の常微分方程式なので独立な解は二つ、
それが J_n, Y_n の組 (或いは H1_n , H2_n の組) です。
Y_n の解は r → 0 で発散しますが、中心部( r = 0 )を含まない境界条件の時に活躍してくれます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 03:12:02.73

>>32

　-(1+x)･e^{-(1+x)} = -1/(Ae),
より
　-(1+x) = W{-1/(Ae)},
　x = -W{-1/(Ae)} -1,
　W は Lambert のW函数。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 03:32:45.06

2^n (n=1,2,3,...)の一桁目の数は2,4,8,6の周期４で変化する。
一方最上位の数に注目すると2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,...etcと非周期的に変化して分布も知られています（ベンフォードの定理）
それではその中間の二桁目の数、三桁目の数、、、最上位の一つ下の数 etc　他の桁の数は周期的に変化するのでしょうか？？
それとも非周期的なんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 03:56:01.31

桁数固定したら周期的なのは当たり前だった

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 07:56:15.74

>>44
各位の数の和の最上位は？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 11:21:48.17

分布は決定できるけどね。
最上位からみて二桁目が3である割合とか。
いわゆる一様分布定理の応用。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 15:27:44.82

>>42
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 15:29:32.82

>>28

0<z<1/2 のとき
　g(x) = f(x)/x　とおく。
　g(x) = 3x/(2xx+1) = 1 - (1-x)(1-2x)/(2xx+1) <1,
　a(n) は単調減少。a(n)<z<1/2,
　また g(x) は |x| < 0.707107 で単調増加。
　a(n+1)/a(n) = g(a(n)) ≦ g(z) < g(1/2) = 1,
　0 < a(n+1) < z･g(z)^n → 0　　(n→∞)

1/2<z<1 のとき
　h(x) = [1-f(x)]/(1-x)　とおく。
　h(x) = (x+1)/(2xx+1) = 1 - x(2x-1)/(2xx+1) < 1,
　a(n) は単調増加。a(n)>z>1/2,
　また　また h(x) は x > 0.224745 で単調減少。
　[1-a(n+1)]/[1-a(n)] = h(a(n)) < h(z) < h(1/2) = 1,
　0 < 1 - a(n+1) < (1-z)･h(z)^n → 0　　(n→∞)

z=1/2 のとき
　a(n) = 1/2.

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 15:54:25.80

>>48
ありがとうございます！
実戦で25分以内にその関数を見つけられるようにするためには、どういう思考の道筋を辿ると良いと思われますか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 16:28:44.61

>>49
発想としては極限値をグラフの交点から推測する時と同じ
あとそれを論述する式変形をする

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 18:21:09.21

平均値の定理方式なら、（必要なら）最初の何項かを間引いて平均値の定理が使うといい
25分もあればなんとかなるでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 19:51:51.09

そうそう。
どんな初項から始めてもならちょっと考えないといけない時もあるけど、具体的に初項指定されてたら大概二三項めから考えればなんとかなるからな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 20:03:14.65

初項指定されてないだろｗ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 20:03:43.04

ウエメセでできる人にのっかって適当いいたいだけのヤカラが結構いるな。
問題くらいは読め

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 20:10:21.09

ちゃんと 0<z<1、a(1)=z と指定されてるぞ甘ったれハゲ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 20:18:41.96

そもそもf'(x)=1の解が0.19221…と0.74767…あたりなんだが
最初2-3項調べて一体何をどうする気なんだかｗ
問題触りすらしない一言居士見ると笑っちまうな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 20:35:28.84

グラフ描けば一目瞭然じゃーん、終わり。
としたいけど、それじゃダメなんですよね。
どうしたらいいのか分からんけど、
この種の「一目瞭然」を統一的に扱うにはどうしたらいいのかね？
毎回、>>48 みたいな工夫をしないといけないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 21:28:57.26

まず1未満の正の数rを選ぶ。
交点を通り傾きが±rの直線を引く。
何項か計算して(a(n),a(n+1))がその二本の直線に挟まれたエリアに入ったら完。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 22:10:06.80

>>57
これ試験に書いても満点はもらえないとされてるようですね。部分点はくれるでしょうが。

しかしこれで…うーん…
どういう理屈で説明すれば完璧になるんでしょうね？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/09(火) 22:39:56.31

>>40
反例ありがとうございます。そうでしたか。結局全部の予想が外れてて残念です
でも複雑度は結構面白いので皆さんも考えてみては？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 01:38:58.00

>>27
　h は平面PBC (正三角錐PABCの一面) の高さです。
　(x,y) 座標では h = 2(1+y) です。(y=0 で 2, y=-1 で 0 だから)
　(r,θ) 座標では h = 2(1-r･cosθ) です。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 02:12:37.49

>>59

0<|z|<1/2の時
第２項は0<x<1/2
r=a(2)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領域0<x<1、|y|<|rx|
以下ry

1/2<|z|<1の時
第２項は1/2<x<1
r=|a(2)-1|とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry

|z|>1/2の時
第２項は1/2<x<1
r=f'(1)とおくと2以上のnで(a(n),a(n+1))は領1/2<x<1、|y-1|≦r|x-1|
以下ry

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 05:18:45.21

（1）等式 3^n = k^2 - 40 を満たす自然数の組(n,k)を全て求めよ。

mは1以上99以下の整数とする。

（2）等式3^n = k^2 - m を満たす自然数の組(n,k)が存在しないようにmを定めることができる。このことを示せ。

（3）（2）のようなmを全て求めよ。

57 · 2019/07/10(水) 11:01:16.05

>>28 のタイプの問題を統一的に扱う件、少し考えてみた
y=f(x) は単調増加な連続関数とする

■1　a[1] < f( a[1] ) = a[2] の場合
開区間族 S := { (a[1],t) ; x ∈ (a[1],t) → x < f(x) }
合併区間 U:= ∪ S = (a[1], q)　(非有界なら q=+∞)
α := f(q)
とする。

連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε
Uの定義より、あるτについて q<τ<q+δ かつ f(τ) ≦ τ (単調増加より f(τ)=τ である)
α-ε ≦ f(τ) = τ < q+δ ≦ f(q+δ) ≦ α+ε
ε→0 により q=α が得られる.

(具体的な αはグラフで交点を求めて、数式で Uの性質を満たす事を示せばよい )

●1.1　 a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在する場合
あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理)
a[n] < τ ≦ a[n+1]=f(a[n]) ≦ f(τ)=τ (∵単調増加)
よって a[n+1]=τ
αの定義より α≦τ , 単調増加より τ=f(a[n]) ≦ f(α)=α よって τ=α
α=a[n+1] = f(α) = ff(α) = f...f(α)
つまり lim a[n]=α

●1.2　a[n]∈U かつ a[n+1] not∈ U となる n が存在しない場合
a[1] < a[2] < ... < α である。
lim a[n] = β ≦ α (上に有界の場合) とする. (収束しなければ lim a[n]= +∞ = α である)
任意のε(>0) に対しある N が存在して n>N → β-ε < a[n]<a[n+1]=f(a[n]) < β
よって lim{ f(a[n]) - a[n] }= f(β) - β = 0, 前と同様の論法で β=α
つまり lim a[n]=α

■2　a[1] > f( a[1] ) = a[2] の場合
1と同様の論法で処理

■3　a[1] = f( a[1] ) = a[2] の場合
明らか

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 11:30:15.12

AB=1、AD=aの長方形ABCDと相似な長方形PAQDがあり、5点A,B,C,D,Pは同一円周上にある。
aの値を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 11:39:35.34

>>65
そんな図形あり得る？
ADは長方形ABCDの外接円の直径にはなり得ない
Pも同一円周上にあるなら∠APDは直角にはなり得ないのでPAQDという長方形は作れないんじゃ？

57 · 2019/07/10(水) 11:58:47.54

>>64
> 連続性により, 任意のε(>0) に対し δ(>0)が存在して |τ-q|≦δ → |f(τ)-α|≦ε ...
(ここは以下のように変更可能 )
∀ε ∃τ (q-ε < τ < q) ∧ ( τ < f(τ) )
q-ε < τ < f(τ) ≦ f(q) = α ∴ q ≦ α

∀ε ∃τ ( q ≦ τ < q+ε ) ∧ ( f(τ) ≦ τ )
α= f(q)≦ f(τ)≦τ <q+ε ∴ α ≦ q
よって α = q

> あるτについて a[n] < τ ≦ a[n+1] かつ τ=f(τ) (∵中間値の定理) ...
(中間値の定理は連続性をを使っているが、以下のように変更可能)
∀x ∈ (a[1],a[n] ) x < f(x)
a[n+1] not∈ (a[1], α ) より a[n]≦ α ≦ a[n+1]
f(α) = α ≦ a[n+1] = f(a[n]) ≦ f(α) =α
よって a[n+1] = α

つまり前提は「y=f(x) は単調増加」だけでよい。
連続性、微分可能性は不要

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 13:04:45.79

移行って＝超えればプラスマイナス逆になるんだよね？

b-a=3を変形したらa=b-3になったんだけどわかる人いる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 13:12:23.52

>>68
○＝△の関係があるとき、
両辺に同じ数字や式を足す、引く、0以外の数をかける、などしても両辺イコールの関係はずっと成立する

例えば
○＋３＝△＋３
○＋a＝△+aになる

なので
b-a=3
↓(両辺にaを足す)
b=3+a
↓(両辺から3を引く)
b-3=a

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 13:22:39.79

>>63
ここはおまえが出題者ぶって問題を出す場所じゃないから失せろ統合失調のガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 13:23:31.11

>>63
おまえ頭の病気だって理解してる？
なんで自分だけ誰からも相手にされてないか理解できる？

57 · 2019/07/10(水) 14:00:40.92

>>67 (訂正)
●1.2 にて、lim a[n] = β → lim f(a[n]) = f(β) つまり連続性を使ってしまっている.
さらによく考えてみれば, 連続でないなら α ;= f(q) で α ≠ q の場合もある.

なので、もう少し修正が必要だが、それでも連続性の前提は外せると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 14:11:20.81

>>68
右辺と左辺を入れ替えるか、途中どこかで両辺に-1を掛ければそうなる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 14:46:37.91

>>63

(1)
　(2,7)　(4,11)

(2)
　3^2 = 9 ≡ 1　(mod 8)
3^n ≡ 1,3　　(mod 8)
　kk ≡ 0,1,4　(mod 8)
∴　m = kk - 3^n ≠ 2,4　　(mod 8)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 17:18:15.37

平面上にn個（n≥4）の点がある。
これらのうちどの4個を選んでもそれらが同一円周上にあるならば、n個の点全てはある1つの円周上にあることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 17:20:33.33

>>75
失せろ統合失調ガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 17:21:27.60

>>75
ここはあなたが問題を出す場所ではありません
迷惑なので書き込まないでください

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 17:54:07.06

高専3年
偏導関数の応用
以下urlの不等式条件付き最大値最小値問題が分かりません。
等式が成り立っている楕円上はラグランジュの未定乗数法で求まると思うのですが、楕円内の最大値最小値の求め方が分かりません。
よろしくお願いします。

https://i.imgur.com/hWbEcan.jpg

57 · 2019/07/10(水) 17:58:14.49

>>72 (続き)
連続性の前提を外す件
↓こういう気持ち悪い逃げ道ができる事があるので、やめたほうがよさそう。
しょうもない追加前提が必要になってくる。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 18:03:38.89

>>78
x=2acosαcost
y=bsinαsint

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 19:08:13.27

x(x+y)-y^2=1
を満たす自然数の組(x,y)は無数に存在することを示し、そのうちxが10番目に小さい組を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 19:11:35.35

>>81
なんでこの人そんなに嫌われてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 19:27:18.20

>>78はもうマジかという目くらましwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 19:43:11.77

陰関数定理について質問させてください。
f(x, y)=0のとき、y’=-fx/fyという定理です。

レムニスケート曲線4(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=0(https://i.imgur.com/pONXvGp.jpg)
にこれを使うと、(x, y)=(0, 0), (±√6/8, ±√2/8)にてy’=0となることがわかります。しかし、実際には(0,0)ではy'=0ではありません。なぜこのようなことが起きるのでしょうか？この点は、陰関数定理を適用できる条件を満たしていないのでしょうか？

よろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 20:12:11.48

λλΠλΠΣΨΣΨΠΔ

ΣλΠΣΨτΨδζοΓ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 20:56:48.24

>>82
統合失調症はどこでも嫌われるだろw
スレの使い方明らかに間違えてるんだから
言外の意味を理解できない5chによくいる糖質の典型例

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 22:47:15.34

>>69
それは等式の性質だ
大学以降は同値関係で説明するべきである

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 22:48:07.53

>>86
統失と自閉症スペクトラムは全く別の病だが大丈夫か？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 22:53:13.69

>>78
・xyt空間曲面: f(x,y,t) = xx/4 + yy + tt = 1 (t≧0) ...(1)
・その法線ベクトル: (x/2, 2y, 2t )

・xyt空間平面: x + y + t = z ...(2)
・その法線ベクトル: (1,1,1)

■ t ＞ 0
zが極値をとる条件は 2つの法線ベクトルが平行になっている事 (実質上はラグランジュ未定乗数法そのもの)
(x/2, 2y, 2t ) = k*(1,1,1) {k:比例係数}
(1)に代入して 4kk/4 + kk/4 + kk/4 = 1 ∴ k = ±√(2/3)
z = x + y + t = 2k + k/2 + k/2 = 3k = ±√6

■ t = 0
・xx/4 + yy = 1
・x + y = z
今度は 2次元版で同様に処理する
(x/2, 2y) = k'*(1,1)
4k'k'/4 + k'k'/4 = 1 ∴ k' = ±2/√(5)
z = 2k' + k'/2 = (5/2)*k' = ±√5

よって +√6 が最大値, -√5 が最小値である

てか... 右上に偏導関数だとか書いてあるんですけど...
え？大学受験レベルでそういうのアリなの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 23:29:16.35

精神分析は別スレで

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/10(水) 23:47:13.49

>>78

7.27
xx/4 + yy ≦ 1　の範囲を x,y が動くとき、関数
　　　ｚ = x + y + √(1 -xx/4 -yy),
の最大値および最小値を求めよ。　　　(長岡技科大)
--------------------------------------------

x = 2a cos(t),　y = a sin(t)　とおく。　　　>>80
題意より 0≦a≦1,

(1) まづ θを一周すると
　(x+y)^2 = 5(xx/4 + yy) - (x/2 - 2y)^2 = {5 - [cos(t)-2sin(t)]^2}aa ≦ 5aa,
　(等号は y=x/4, tan(t)=1/2 のとき)
-(√5)a ≦ x+y ≦ (√5)a,
よって
　-(√5)a + √(1-aa) ≦ z ≦ (√5)a + √(1-aa),

(2) 次に 0≦a≦1 で動かす。
　-√5 ≦ z ≦ √6,
　(左等号は a=1 のとき。右等号は a=√(5/6) のとき)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 00:08:27.91

>>64
ありがとうございます
しかし、ちょっと用語が難しく、理解には至りませんでした
精進します。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 00:36:47.93

>>81
フィボナッチ数を F_n とおく。
　G_n = F_n･{F_n + F_(n+1)} - {F_(n+1)}^2
　= F_n･{2F_n + F_(n-1)} - {F_n + F_(n-1)}^2
　= (F_n)^2 - F_(n-1)･{F_(n-1) + F_n}
　= - G_(n-1)
　= ･････
　= (-1)^(n-1)・G_1
　= (-1)^(n-1) {F_1･(F_1+F_2) - (F_2)^2}
　= (-1)^(n-1),

∴　(x, y) = (F_{2m-1}, F_{2m})　は題意を満たす。(mは自然数)

m=10 のとき　(F_19, F_20) = (4181, 6765)

>>84
　おいらの連鎖律

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 01:02:35.25

>>81

(x, y) = (1, 1) は題意を満たす。

(a+b){(a+b)+(a+2b)} - (a+2b)^2 = a(a+b) - b^2,
∴　(x, y) = (a, b) が題意を満たすならば　(a+b, a+2b) も題意を満たす。(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 07:28:42.62

>>89
なるほど!
この方法で解くとエレガントですね。
わかりやすい解説ありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 13:08:24.66

下記のような式は微積分のどういう分野で出てくるのですか？

∫logyf(xy)dy=G(y,x)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/11(木) 17:27:22.04

前>>27
>>12正四面体PABCと単位円柱内部を足しあつめて引く場合、どっち方向に切った断面積をどっち方向に足しあつめますか？
rとθの2つの変数がある場合、どこを起点にし(どこにr=0,θ=0または0°をとり)ますか？
そこを明確に示せば式は人それぞれ勝手に立てて解くと思うんです。
こういう積分の答案には、方向と起点を書いてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 17:40:32.62

r=0 は円柱の軸 (z軸、OP),
θ=0ﾟは ∠BOCの中央の向き (OAと反対の方向）

なお、PABCは正四面体ではなく正三角柱。

**Frank student** · 2019/07/11(木) 17:56:34.55

>>81
ss = Solve[x^2 + x y - y^2 == 1 , y];
n = 1;
Do[
If[IntegerQ[py = (y /. ss[[2]])], Print[{n++, x, py}]], {x, 0,
10000}]

{1,1,1}

{2,2,3}

{3,5,8}

{4,13,21}

{5,34,55}

{6,89,144}

{7,233,377}

{8,610,987}

{9,1597,2584}

{10,4181,6765}

で片が付く

証明？　フィボナッチが当然でてくるが、それをしらなくても　なんとかできるでしょう

1５以上は計算時間がかかりそうだね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 18:01:31.40

0<α<β<90とする。
PA=a、PB=bである△PABにおいて、∠A=α°、∠B=β°とする。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ°-cosα°}/(b^2-a^2)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/11(木) 19:29:03.12

前>>97
>>98
y軸の負の方向にr=cosθをとったということですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 19:48:26.15

数学の新発見をしたと思うので証明など送ろうと日本数学会にホームページに行ったが
送り先などを受け付けるメアドなどが分からない
ちょうどそこにおいてあるログインメール先にちょっと聞きに行ったら
システムバグってる。たぶん管理者このバグで動かないのに気が付いてない。
誰か日本数学会へのアクセス知らない？

>アカウント作成（Activation）等のアクティベーションシステムに関するお問い合わせ受付は6月19日（水）17時までで一時停止しています。
>これ以降のお問い合わせについては、7月1日以降に順次対応いたします。
>どうぞよろしくお願いいたします。

>日本数学会事務局

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 19:51:08.73

>>99
イカした言語だね
wolfram? wolfram alpha?

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 19:59:23.05

Wolfram言語はプラットフォームに最適化された
最新のコードを使って，初等関数を非常に効率的に
機械精度で評価するだけでなく，多くの独自のアルゴリズムを
使って任意精度において世界最速で評価することもできる．
Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより，
過去には主要な数学的成果とみなされていた
結果を簡単に得て，初等関数について
厳密な数値・代数操作を行うことができる．

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 20:15:39.35

>>100
β = α + δ, b = a - δ' と置く
正弦定理より a sinα = b sinβ = (a - δ' )sin(α + δ) = (a - δ' ){ sinα + δ.cosα + o(δ^2) }
δ' sinα = a δ.cosα - δ'δ.cosα + o(δ^2)　∴ lim (δ/δ') = tanα / a
{cosβ-cosα}/(b^2-a^2) = {cos(α + δ)-cosα}/{(2a - δ')(-δ')} = sinα/(2a) * δ/δ' + o(δ^2)
= sinα/(2a) * tanα /a + o(δ^2)
→ sinα tanα /(2aa)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 20:33:08.51

質問だけじゃまずいか
問題に答えるスレらしいので
>>81
(loop for x from 1 to 100000 do (loop for y from 1 to 100000 when (eq 1 (- (* x (+ x y)) (expt y 2))) do (format t "x:~a y:~a~%" x y)))
x:1 y:1
x:2 y:3
x:5 y:8
x:13 y:21
x:34 y:55
x:89 y:144
x:233 y:377
x:610 y:987
x:1597 y:2584
x:4181 y:6765

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 21:54:10.02

発見した内容は大まかにいえば
実数と直交する虚数とは異なるもう一つの虚数の世界がある、
3次方程式の実数解はその空間の円を3等分した写像である
さらに4次方程式も同様に扱える(Rを出し、jのデータを出し、回転させる)

こんな感じの定理は今までの数学にはある？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 21:57:16.57

教科書で3時方程式ではカルダーノ、4次はデカルトとかでてきたけど
これ全然書いてないのが、もし知られてるならおかしい
幾何学的にも代数的にも綺麗で3時も4次も同じメソッドで解けるとか最高にクール

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 21:58:20.05

なるほど、今度の診察の時おくすり増やしてもらおうね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 21:58:45.51

>>109
知られてのかどっちなんだ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 22:05:06.24

奇数の完全数くんみたいに論文（）をハゲ散らかしてみたら？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/11(木) 22:09:03.51

前>>101
>>98四面体PABCは三角柱ではなく底辺が正三角形の三角錐ですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 22:15:47.00

>>111
そこで
>誰か日本数学会へのアクセス知らない？
なのだが

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 22:17:38.89

>>113
とりあえずスレ立ててみたらどうでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 22:19:29.21

歴史的大成果？を挙げた奇数の完全数くんですら、コツコツとwebで論文ハゲ散らかしだよ
200くらい版を重ねて

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 22:21:08.79

>>114
たいていは新発見なんて誤解で誰か見つけてるのがオチじゃん

>>107
これ知ってるよ　Xxxが見つけた Xxx の定理
とかレスがつくはず

お前らのような滅茶苦茶数学出来るやつらなら
知ってる可能性が高い

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/11(木) 22:49:52.10

前>>112
>>98どっち方向に切ってどっち方向に足しあつめたら、
あるいは直角三角錐台から3方向切頭単位円柱の1/6のどっち方向に切った断面積をどっち方向に引きあつめたら、
求める体積の1/6、
2√3/3-π/3
になるかが知りたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/11(木) 23:13:05.48

名前のデフォルトにもなっているように、ここ素数好きみたいだから
お土産として素数ジェネレータのコード置いておくよ
https://pastebin.com/EEQkRR1W

速度の出せるC言語でキャッシュ層無しで3MBもメモリ使わない感じ
10000000000未満の素数全部書き出すコード
テキストファイルに全出力流し込むと約5GBぐらいになるはずだ
速度は1秒間に1万個ぐらい素数見つけるペースだから
たぶん日常生活で素数表見たくなったら1秒ぐらいで十分なんじゃないでしょうか
素数しばらく見ないならファイル消してコードだけ持っていればほぼファイルサイズ0で保存がきき
必要なら数ギガバイトとか出力しておけば色々調べるのに便利かも

ここの住民騒がせたちょっとしたお詫びも兼ねる

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 01:20:30.56

>>100
a,b が定数の場合
　sinα/sinβ = sin(∠A)/sin(∠B) = PB / PA = b/a,
　β→α とできるから　a=b？

a,b が変数の場合
　PABのサイズを自由に変更できるので不定？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 02:00:05.22

だね。>>100は問題になってないな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 02:33:17.50

tを実数の定数とする。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 02:41:54.78

>>118

早速走らせてみました。　長くては困るので１００００以下にしましたが、
言われた通りです。

Cを使わなくなってひさしいのですが、昔通りのCで懐かしいです。
ありがとうございました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 04:56:40.65

>>101
　y軸の負の方向 (∠BOCの中央の方向) に θ=0 を取りました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 06:36:50.27

a,θ,αを正の定数とする。
PA=a、∠P=θ、∠A=αの△PABを考える。
∠B=βとしてβを変化させる（すなわち、それに伴いPB=xも変化する）。
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[β→α]{cosβ-cosα}/(x^2-a^2)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 07:56:41.32

等号を同値関係ではなく
等式の意味で使っている以上
全部ゴミだと思うよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:16:30.79

>>124
統合失調ガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:19:47.44

>>124
このスレはあなたがクイズを出すスレじゃない

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:21:00.58

p が偽の時、 p → q は真になります。

A を任意の集合とする。

p ∈ φ ⇒ p ∈ A

p ∈ φは偽だから、 p ∈ φ ⇒ p ∈ A は真である。

定義により、 φ は A の部分集合である。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:23:27.69

p が偽の時、 p → q は真

という約束はただ単に便利だからそう約束するまでだ

と本には書いてあります。

>>128

空集合は任意の集合の部分集合であることを証明できたりして、確かに便利です。

>>128

の例以外で、この約束が便利な場面ってありますか？

p

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:27:21.48

p(x) ⇒ q(x)

普通は、 p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えません。

数学において、

p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない

となぜ約束しないのでしょうか？

具体的にこのように約束すると不便な場面を挙げてください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:29:10.44

⇒

を二項演算と考えるとすると、確かに以下の4通りの引数に対して戻り値が定義されていないと困ります。、

True ⇒ True
True ⇒ False
False ⇒ True
False ⇒ False

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:31:58.76

そして、

False ⇒ True
False ⇒ False

の値を定義しなければならないというのならば、その値を真と定義するのが妥当である

ということに同意するのに吝かではありません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:38:25.97

実際に数学の本を読んでいても、

p が偽の時、 p → q は真

という約束が便利であると思うことは少ないと思います。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:41:46.64

具体的に、ある数学的議論の中で、

p(x) = True となるような x に対してしか p(x) ⇒ q(x) を考えない

場合と、

True ⇒ True == True
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True

と約束する場合に、

それぞれ、議論がどのようになるのか、例を挙げて示してください。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:43:22.71

True ⇒ True == True
True ⇒ False == False
False ⇒ True == True
False ⇒ False == True

と約束することに関する説明として、判で押したように「便利である」とだけ書くのはいかがなものでしょうか？

うまく説明できないから逃げているとしか思えません。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:58:19.93

命題の真偽について疑問があるのなら
成田正雄『初等代数学』共立出版　1966
にすべて書いてある
公理化し得る定理（除法の定理）や
群やイデアルの定義など証明困難なものに対して
偽の命題を仮定して真の命題を導出している

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 08:59:22.27

定義を証明するというのは異端のように思われがちだが
公理化する前の定義の証明は必要だという立場もある

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 09:08:58.95

>>124
>>105 の解答ではダメなの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 09:23:32.90

>>105 で o(δ^2) と書いたとこは o(δ) に訂正する
lim{δ→ 0} o(δ) / δ → 0 となるような微小量 (ランダウ記法)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 11:42:59.50

>96
再掲

下記のような式は微積分のどういう分野で出てくるのですか？

∫logyf(xy)dy=G(y,x)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 14:06:54.99

質問です。210/ 5.5を計算したらx＝38と10/55 になりました。これはどう計算するんでしょうか？僕がやったら38と2/11になってしまいます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 14:18:25.12

>>141
少し解決しました。2100/55で計算したらそうなります。なぜ、420/11で約分できるのにしないんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 14:23:54.54

ぼくがかんがえたさいきょおのときかたを書いてみれば？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 14:37:55.45

>>141
>>142
自己解決しました

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 15:28:34.13

m,nを自然数とする。
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
を最小にするm,nの組を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 15:31:12.28

>>145
訂正
a[m,n]を最小にする→|a[m,n]|を最小にする

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 19:06:51.47

>>136

ありがとうございます。

読んでみます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/12(金) 22:56:22.73

>>145

log(6)/log(2) = 2.5849625
{log(6)/log(2)}^2 = 6.68203113
より
　m ≦ 6

a[4,2] =　0.0076122315315
a[5,7] = -0.0593537672425
a[5,8] =　0.0155611898880
a[6,53] = -0.0006100055500
a[6,54] =　0.00063278544533

(m,n) = (6,53) のとき最小。

【大吉】 · 2019/07/13(土) 00:57:02.88

前>>117
>>61やってみます。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 01:04:08.17

>>145
a[m,n] = log_2[6] - (√m + 1/√(n+1))
をわかりやすくきじゅづしてくさい。

a[m,n] = log_2[6] - (m + 1/√(n+1))^(1/2)
a[m,n] = log_2[6] - (m^1/2 + 1/√(n+1))
or
....

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 10:20:43.04

　F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s
とします。
　s=0, 1, ..., n-1 の時、 F(n,s) = 0
となる事を示してください。
s=0 だと (1-1)^n = 0 、n,s の偶奇が正反対の場合も簡単ですが、
n,s が偶偶または奇奇のパターンは、どうしたらいいのか分かりません。

例えば
F(2019, s) = 0 (s=0,1,2,..., 2019 )、F(2019, 2019) = {6407桁の数} 、F(2019, 2020)=0
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 10:48:41.14

(補足説明)
∫ {x=-∞, +∞} dx (sin(x) / x)^n = lim{ε→0} ∫ {z=-∞, +∞} dz sin(z)^n / (z^n + iε^n) = ...
の計算途中に、 F(n,s) / ε^{n-s} に比例する項が現れます。
この積分の ε→0 収束が F(n,s) = 0 (s=0, 1, ..., n-1) を保証しているはずですが
もう少し直接的な証明を知りたいです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 12:31:16.92

>>151 自己解決しました

F(n,s) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^s (s=0,1,...,n-1)

・k についての多項式: (n-2k)^s の次数は n-1 以下である
・Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^t (t = 0,1..., n-1)
　= Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (d/dα)^t e^{kα}　 (α→0)
　=(d/dα)^t Σ{k=0, n} C{n,k} * (- e^{α} )^k　 (α→0)
　=(d/dα)^t (1-e^{α})^n　 (α→0)
　=(d/dα)^t (1-e^{α}).... (1-e^{α}) 　(α→0)
　= 0 (∵ t < n)
よって F(n,s) = 0 (s=0,1,...,n-1) である。
一晩くらい悩んだのに意外と簡単だった。

ついでに F(n,n) の式も求まった。
F(n,n) := Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * (n-2*k)^n
= (-2)^n * Σ{k=0, n} C{n,k} * (-1)^k * k^n
= (-2)^n * (d/dα)^n (1-e^{α}).... (1-e^{α}) 　(α→0)
= (-2)^n * n! * (-e^{α})...(-e^{α}) 　(α→0)
= 2^n * n!

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/13(土) 16:01:10.38

前>>149
△PBCを含む平面の式が、
z=2y+2=2(1+y)
√3/2≦x≦√3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy=-x/√3平面とで囲まれた部分の体積は、
(1/6)(√3-√3/2){-1/2-(-1)}2[1+{-(√3/2)/√3}]
=(1/6)(√3/2)(1/2)
=√3/24――①
0≦x≦√3/2の範囲をどう出すか。
y=-2x/√3をx^2+y^2=1に代入し交点の座標を求めると、
x^2+4x^2/3=1
x^2=7/3
(√21/3,-2√7/3)
√3/2≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
　　　　――②
0≦x≦√21/3の範囲で、z=0平面と△PBCを含む平面とy^2+y^2=1曲面とで囲まれた部分の体積は、
　　　　――③
①②③より、
求める体積は、
6(①+②+③)=4√3-2π

rとθで表すにしても、どの体積をどの式で表すかきちんと書くべきだと思う。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/13(土) 18:23:14.39

どうだった？ __人人__
/__人人__/__/（__^_)_
/_(__)_)_/__/（____)_
/_( ___)_/__/（^o^))_
/_(_（`)_/__/_(__っ┳
/_(υ__)┓__◎ﾞ┻υ◎ﾞ
◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/__/ｷｺｷｺ……/__/__/_ｷｺｷｺ……__/__/__/__/前>>154やっぱり>>12のように解くしかないか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 18:53:09.49

log[(x^2)＋2]を0から√2までxで積分してください

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 19:45:35.91

>>156
log[(x^2)＋2] = log(x + i√2) + log(x - i√2) より
不定積分: ∫ dx log[(x^2)＋2] = (x + i√2)log(x + i√2) - (x + i√2) + (x - i√2)log(x - i√2) - (x - i√2)
= x log(x^2 + 2) + i√2 log[(x + i√2)/(x - i√2)] - 2x
= x log(x^2 + 2) - 2√2 arctan[ (√2) / x ] - 2x (←導出過程が怪しく思うならコレを微分して確かめるとよい)
あとは数値を入れるだけ

**107** · 2019/07/13(土) 23:48:47.25

sample

正規化して x^3 -13 * x から円の半径R = 2 * ( (13/3)^2 ) を得る
a を実数解の一つとすると、その虚数i とは異なる軸j のデータは (52 - a^2)^0.5 である
複素数平面とj軸を合わせた立体空間を120°回転させて他の2つの解を得る
つまり他2つの解は (-a +- (52 - 3 * (a^2) )^0.5 )/2 である
これが整数解かつ実数の条件で解くと a= +-1 等を得る(普通は6個解が出る)
a=1 の時他の解は代入して -4, 3 であり
a=-1 の時他の解は代入して 4, -3 である

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 23:49:30.75

コピペみす

kは整数である。3次方程式
x^3 -13x +k = 0
は3つの異なる実数解をもつ。その3つの解とは？

正規化して......

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 23:53:30.90

>>107
四元数体の話をしてる？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/13(土) 23:55:15.74

>>160
初めて聞くワードだ

>158
に見おぼえがある？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 00:02:22.10

>>160
似ているが違う
そもそも自分は i j を認識しているが kを認識できてない
そして
ij = k となっているが
自分の見つけた法則ではkに移らない

たとえば j 軸のデータのルートの中が負だと
虚数i で表わせるけど
真ドモアブルの定理を使うと複素数平面(皆が使う実数と虚数iの座標)
に変換される。断じてkではない

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 00:05:17.45

wiki に三元数無いね
真発見の正体は三元数と命名していい？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 00:10:39.90

三元数はハミルトンが計算が変になるって悩んだやつだな。。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 00:11:47.33

三元数と命名するのやめた
2元数と 4元数なに書いてあるのかぜんぜん理解できない
もし命名してたら混乱まねきかねない

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 00:19:03.85

>>158
>>159
いままでの定番だと1つの実数解をaとしたら
他の2つの解がk まじるよね？
私のはaで表記できます
しかも
カルダーノの難しい式のような難解な3乗根もいらない

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/14(日) 00:29:09.21

>>12四面体PABC-(1/2)^3四面体PABC-6(四面体内部から削り出す0≦z≦1,0°≦θ≦60°の部分)
=2√3(7/8)-6(π-√3)/3
=7√3/4-2π+2√3
=15√3/4-2π
最初は2√3-6(π-√3)/3
=4√3-2πかと思ったんですが、(π-√3)/3を6つ削り出す元の立体は、0≦z≦1だと四面体PABCの1/8は除外され体積(2√3)(7/8)=7√3/4の三角錘台になるんじゃないでしょうか？　前>>155

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/14(日) 02:17:25.57

前>>167それとも>>12の、
v/2=∫[0～1]∫[0～60ﾟ]h(r,θ)dθrdr
=∫[0～1]∫[0～π/3]2(1-rcosθ)dθrdr
=∫[0～1]2rdr∫[0～π/3]dθ-∫[0～1]r^2dr∫[0～π/3]2cosθdθ
=(π/3)-(1/3)[2sinθ](0→π/3)
=(π-√3)/3
はOBを斜辺とする直角三角形(△OBCの半分)を底辺とする三角錘の頂点Pを含む体積ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 02:50:36.36

tを正の実数とする。
曲線C:y=ln(x)
の区間[t,t+1]の部分の長さをL(t)とする。
2点A_t、B_tをA_t(t,ln(t))、B_t(t+1,ln(t+1))と定める。
点A_tでのCの接線の、区間[t,t+1]での長さをA(t)とする。また線分A_tB_tの長さをB(t)とする。

（1）L(t)とA(t)の大小を比較せよ。

（2）lim[t→∞] L(t) = 1　を示せ。

（3）実数p[t],q[t],r[t]を以下の規則で定める。
(a)p[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最大でないもの2つの相加平均
(b)q[t]はA(t),B(t),L(t)の相加平均
(c)r[t]はA(t),B(t),L(t)のうち最小でないもの2つの相加平均
このとき、以下の極限を求めよ。
lim[t→∞] {p[t]+r[t]-2}/{q[t]-1}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 12:44:40.48

>>169
統合失調ガイジ氏ね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 12:45:25.64

>>169
迷惑だからスレから消えろゴミ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 12:46:27.27

>>169
このスレはわからない問題を書くスレですその問いの特に何が分からないんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 12:50:01.25

>>169
自分のレスと他の人のレスで何か違うと思わない？思わないならあなたは糖質

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 14:19:13.71

>>151
s次多項式は
　1, x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ････, x(x-1)････(x-s+1)
の形の和で表わせる。

そこで >>153 を少し変えて
Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
　= Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･{(∂/∂β)^s β^k}　(β→1)
　= (∂/∂β)^s {Σ{k=0,n} (-1)^k･C{n,k}･β^k}　(β→1)
　= (∂/∂β)^s {(1-β)^n}　(β→1)
　= (-1)^s {n!/(n-s)!} {(1-β)^(n-s)}　(β→1)
　= 0　　　　　　　　(s=0,1,････,n-1)
　= (-1)^n ･ n!　　　(s=n)

あるいは直接

Σ{k=0,n} (-1)^k ･ C{n,k} ･ k(k-1)････(k-s+1)
　= Σ{k=s,n} (-1)^k ･ {n!/(n-k)!･(k-s)!}
　= (-1)^s {n!/(n-s)!} Σ{L=0,n-s} (-1)^L C{n-s,L}
　= (-1)^s {n!/(n-s)!} (1-1)^(n-s)
　= 0　　　　　　　(s=0,1,････n-1)
　= (-1)^n ･ n!　　(s=n)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 14:22:26.54

>>156

部分積分で
∫ log(xx+2) dx = x･log(xx+2) - ∫ 2xx/(xx+2) dx
　= x･log(xx+2) + ∫{4/(xx+2) -2} dx
　= x･log(xx+2) + (2√2)∫1/(tt+1) dt -2x
　= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(t) -2x
　= x･log(xx+2) + (2√2)arctan(x/√2) -2x,

0→√2 で積分すると
　(2√2){log(2) + π/4 -1} = 1.35353063127

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/14(日) 14:28:15.88

>>159 >>166
　「1つの実数解をaとするとき、他の2つの解をaで表記せよ。」
なら
　b+c = -a,
　bc = aa -13,
から補助方程式
　tt + at + aa -13 = 0,
これを解いて
　b, c = {-a ± √(52-3aa)}/2,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 01:17:59.85

1から99までの整数Nで、|sinN|を最小にするものを求めよ。
必要があれば以下を用いて良い。
π=3.1415926535...
π=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...]

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 01:50:11.33

むしろ

自然数　n にたいして　実数列a[n]を　a[n]=Inf｛sin(i)| 1≦i≦n｝　で定める。
lim｛n →∞｝a[n] の値を知りたい

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 02:18:11.33

limit[a[n]] = -1

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 02:29:58.10

sin[22]= 0.00885131

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 02:36:09.04

{Pi+2m Pi,{m,1,15}}
{9.42478, 15.708, 21.9911, 28.2743, 34.5575, 40.8407, 47.1239, \
53.4071, 59.6903, 65.9734, 72.2566, 78.5398, 84.823, 91.1062, 97.3894}

21.9911 --> 22

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 02:39:37.01

>>178
1/(2π) が無理数なので複素平面上に z=e^{ik}=e^{i2π* (k/(2π))} k=1,2,3,.... をプロットすると単位円を稠密に覆い尽くす。(クロネッカーの稠密定理より明らか)
特に z= -i の任意のε近傍にいくらでも散らばっている。
つまり ∀ε ∃k |sin(k) - (-1)| = | Im(z - (-i)) | ≦ | z - (-i) | < ε
よって lim｛n →∞｝a[n] = -1

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 02:45:25.90

Integrate[Log[x^2] + 2, {x, 0, Sqrt[2]}]
==Sqrt[2] Log[2]

=0.980258

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 03:17:29.46

>>177
統合失調ガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 03:25:27.26

>>156 >>175

参考書
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
　p.167 第20表　Ｉ[n] = ∫(x^n)log(xx+c) dx

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 03:36:31.27

>>180
素晴らしい

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 03:38:12.02

>>181
ひょっとして連分数展開に依らず数値計算しましたか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 04:49:44.99

>>177
　sin(11) = -0.999990206550703
　sin(55) = -0.999755173358620
　sin(99) = -0.999206834186354
のどれか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 04:53:08.03

>>178
　f(i) = i - 2π[i/2π]
とおくと
　0 ≦ f(i) < 2π

　f(0), f(1), f(2), ････, f(m) の(m+1)個の中の或る i≠j について
　0 < |f(i) - f(j)| < 2π/m,
　n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2π/m より小さい。

　任意の ε>0 をとって　m = [π/√(2ε)] + 1 とおく。
　|f(i) - f(j)| < 2√(2ε),
　n を |i-j| ずつ増加したときの f(n) の変化は 2√(2ε) より小さい。
　ある f(n) は区間 [ -(π/2)-√(2ε), -(π/2)+√(2ε)] の中に入る。
　sin(n) = sin(f(n)) < sin(-(π/2)±√(2ε)) = -1 + 2{sin√(ε/2)}^2 < -1 + ε,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:20:57.78

>>187
消えろとうごうしっちょうしょうのガイジ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:21:25.10

tを実数の定数とする。
-1≤x≤1において、以下の2つの関数の値域が一致するという。
f(x)=|ax^2+tx+c|
g(x)=|cx^2+tx+a|
このとき、ac≠0である実数a,cが満たすべき関係式を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:22:37.59

>>191
糖質は書き込むな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:22:52.50

>>191
迷惑だから書き込まないでください

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:23:12.84

>>191
効いてないアピールしなくて良いから
おまえのせいでみんなが迷惑だから

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 09:24:50.64

>>187
>>186
分からない問題を書くスレなのになんで答え知ってる問題を書いたの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 15:03:25.62

前層 F の層化とは層 [F] と準同型 f: F→[F] であって、次の普遍性を満たすものです:
任意の層 G と任意の準同型 g: F→G に対し、準同型 h: [F]→G が一意的に存在して g = hf となる

層化が存在するとすれば [F] は同型を除いて一意的です。では、f は一意的でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 15:36:14.28

>>196
G=[F]とするとgとfを変換してくれるhが存在するわけだから
同型を除いて一意じゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 16:31:50.34

見た目は2次関数の問題なのに難問。ありませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 16:53:12.24

理三余裕な人でもなきゃ二次関数絡む大学受験の難問なんていっぱいあるだろ
理一合格者平均程度でも25分で完答厳しいやつな

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/15(月) 16:53:35.02

あ、ガイジにレスしてたわ
すまんな