＞「D=0かつD(p^2-1)=0」⇒「pは不定」全ての値で解になる
あなたが示したのは、式 D(p^2-1)=0 の p が不定になるということであって、
式⑤の p が不定になるということではありません。
⑤⇒D(p^2-1)=0 は示せていても、D(p^2-1)=0⇒⑤は示せていないのですから、
＞全てのpで成り立つ⇒式⑤の係数は全て0でなければならない
ということにもなりません。