＞⑤が全てのpで成り立つ条件はa=0、b=0ではないのですか？
⑤の成立条件はa=b=0とはなりません。

y=bp^n, 2y=a(1+…+p^n) であることを思い出してください。y≠0ですから、明らかにa≠0かつb≠0です。
b=y/p^n, a=2y/(1+…+p^n) を代入すると、

＞(a-2b)p^(n+1)+2bp^n-a=0 ⑤
左辺=(2y/(1+…+p^n)-2(y/p^n))p^(n+1)+2(y/p^n)p^n-2y/(1+…+p^n)
=2y(p^(n+1)-1)/(1+…+p^n)-2py+2y
=2y(p-1)-2py-2y=0

となりますので、a=b=0 ではない条件で⑤は成立します。

もっとも、「⑤が全てのpで成り立つ」という前提それ自体が誤りだと>>623では言っているのですが。