式 Dp^2-D=0 を満たす整数D,pの条件は、以下の３とおりのいずれかに場合分けできる。

(１) D≠0 かつ p＝±1
(２) D＝0 かつ p≠1 (mod 4)
(３) D＝0 かつ p≡1 (mod 4)

pは4q+1型の奇素数だから、(１)(２)が不適なのはすぐわかる。
(３)の場合が不適になるという理由が分からない。何も問題ないように思う。