n≧5の場合
u=p^(n-1)+p^(n-3)+…+1とすると
p^n+…+1=u(p+1)
2b=cu(p+1)

ap-2bp+2b=c
ap-2b(p-1)=c
ap-cu(p^2-1)=c

cup^2-ap-cu+c=0
up^2-(a/c)p-u+1=0

s=a/cとすると

up^2-sp-u+1=0

p=4q+1、u=2v+1とすると

(2v+1)(4q+1)^2-s(4q+1)-2v=0, u>0, q>0
これをwolframさんに計算してもらうと
v=4q+1
u=2p+1

p^(n-1)+p^(n-3)+…+1=2p+1
p^(n-1)+p^(n-3)+…+p^2=2p
p^(n-2)+p^(n-4)+…+p=2
これを満たす奇素数pは存在しない。