高木論法で偶数の完全数の非存在を示すとこう：
偶数の完全数をyとし、そのうち一つの素因数をp、pの指数を整数n(n≧1),p以外の素因数をp1,…,pkとし、prの指数をqkとする。
a=Π[k=1..r](1+pk+pk^2+..+pk^qk)
b=Π[k=1..r]pk^qk
とすると、完全数の定義より a(1+p+p^2+..+p^n)=2y=2bp^n
これを変形して (ap-2bp+2b)p^n=a
c=ap-2bp+2b(c＞0)…⑤ とすると、cp^n=aとなるから、a/cは整数であり、これをsとする。
2b(p-1)=2bp-2b=ap-c=c(p^{n+1}-1)となるから、2b=c(p^n+…+1)
2bはcの倍数だから2b/cをuとして、2b=cu
⑤とa=csよりc=csp-cup+cu、c≠0だから1=sp-up+u
up-sp=(u-s)p=u-1 だから u-1≡0 (mod p)
vを整数として、u-1=vp とすると、
(vp+1)p-sp=vp よって vp-s=v-1
s=a/c=p^n より vp-p^n=v-1 となり、v-1≡0 (mod p)
Aを整数として v-1=Apとすると、
(Ap+1)p-p^n=Ap よって Ap-p^{n-1}=A-1 … (A) となる。
n=1のとき、Ap-1=A-1 より p=1 となるから不適となる。よってn＞1
Bを整数としてA-1=Bpとすると、
(Bp+1)p-p^{n-1}=Bp よって Bp-p^{n-2}=B-1 … (B) となる
式(A)と式(B)を比較するとnの次数が1少なくなっている。この操作を繰り返すと
必ず最後はn=1と同様にp=1になり不適になる。以上から偶数の完全数は存在しない。QED
すごいな。偶数の完全数の非存在も証明できちゃったよ。
