yの素因数の指数は一つだけ奇数にならなければならない。
yが完全数であるためには、以下の式が成立しなければならない。
y/p^n=(1+p+p^2+…+p^n)Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)/(2p^n)=Π[k=1,m]pk^qk
ここで、
a=Π[k=1,m](1+pk+pk^2+…+pk^qk)
b=Π[k=1,m]pk^qk
とすると
y/p^n=a(1+p+p^2+…+p^n)/(2p^n)=b
a(p^(n+1)-1)/(2(p-1)p^n)=b
a(p^(n+1)-1)=2b(p-1)p^n
ap^(n+1)-2b(p-1)p^n=a
(ap-2bp+2b)p^n=a
ここで、ap-2bp+2bは整数だからa/p^nは整数となりこれをcとする
ap-2bp+2b=c
(a-2b)p=c-2b
p=(c-2b)/(a-2b)
となる。
有理数dをd=a/bとすると
ap-2bp+2b=a/p^n
a(p-1/p^n)=2(p-1)b
d=2(p-1)/(p-1/p^n)
p=(2b-a/p^n)/(2b-a)
p=(2-d/p^n)/(2-d) …④
(p-1)/(p-1/p^n)<(p-1)/(p-1/p)
(p-1)/(p-1/p^n)<p/(p+1)
であり、pは2より大きい素数であるから
p>2+1/p^n
2(p-1)>p-1/p^n
2(p-1)/(p-1/p^n)>1
となるから、dは1<d<p/(p+1) …⑤
の値をとる。
p/(p+1)<1であるから、⑤を満たす整数dが存在しないので
④を満たす素数pは存在しない。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
