(s+t)p=2a-2r-s-t
a=gp-g+h+k
(s+t)p=2(gp-g+h+k)-2r-s-t
(s+t-2g)p=2(-g+h+k-r)-s-t
(s+t-2g)p=2(2h-g)-s-t
整数をvとして
2h-s-t=v(p-1)
s+t=-v(p-1)+2h
(-v(p-1)+2h-2g)p=2(-g+2h+k-r)-(-v(p-1)+2h)
(-vp+2h-2g+v)p=2(-g+k-r)+v(p-1)
(-vp+2h-2g)p=2(h-g)-v
-vp^2+2(h-g)p-2(h-g)+v=0
vp^2-2(h-g)p+2(h-g)-v=0
整数をwとして
h-g≡0 (mod p+1)
より
h-g=w(p+1)
vp^2-2w(p+1)p+2w(p+1)-v=0
(v-2w)p^2+2w-v=0
(v-2w)(p^2-1)=0
p^2≠1だから、v=2w
h-g≡2w (mod p-1)
整数をzとして
h-g=(p-1)z+2w
w(p+1)=(p-1)z+2w
(w-z)p=-z+w
p=1となり、不適となる。
以上から、w=0、g=hとなるので>>172以降の考察により
奇数の完全数は存在しない
