p=k/gの場合、
h+k=h+gp=h+g(p-1)+g
c≡h+k≡g+h (mod p-1)
gとhの偶奇は一致するから、cが奇数であることに反するので
この場合は不適になる。
2b-c(p^(n+1)-1)/(p-1)=0
(p^n+…+1)/2が奇数であるから、mを整数としてn=4m+1が必要となる。
2b(p-1)=c(p^(n+1)-1)
2b(p-1)=c(p^(4m+2)-1)
2b=c(p^(4m+1)+p^(4m)+…+1)
2b=c(p+1)(p^(4m)+p^(4m-2)+…+1)
2b=c(p+1)((p^2+1)(p^(4m-2)+p^(4m-6)+…+p^2)+1)
bはp+1が4の倍数でないときに奇数となり、
p-1が4の倍数であることが必要になる。
④のpに関する2次方程式が、p=4q+1とk/gの２解を持つとすると
gp^2-4gqp+gp-kp+4kq-k-(gp^2+(-a-g+h)p+c-h)=0
-4gqp+gp-kp+4kq-k-((-a-g+h)p+c-h)=0
(-4gq+2g-k+a-h)p+4kq-c-k+h=0
ap-c+2gp-4gqp+4kq-(p+1)k-h(p-1)=0
ap-c=2b(p-1)から
ap-c≡0 (mod p-1)を用いると
-4gq+2g-2k+4kq≡0 (mod p-1)
rを整数として、
-4gq+2g-2k+4kq=r(p-1)
-2gq+g-k+2kq=r(p-1)/2
p-1は4の倍数であり、(p-1)/2が偶数となるから
右辺は偶数になり、gとkの偶奇は一致することになる。
しかしこれは、(1)、(2)に矛盾する。
以上から、奇数の完全数は存在しない。
