前スレで層の質問をおっちゃんにした
「任意の前層が表現可能関手の余極限と同型である」は標語だと、どこかに書いてあったね

http://qiita.com/amoO_O/items/f5b1246ca29bc8ff6f69
【圏論メモ】任意の前層が表現可能関手の余極限と同型であることの証明 - Qiita amoO_Oが2016/03/25に投稿(2016/04/10に編集)
(抜粋)
定義
小さい圏

Ob(C),Hom(C)Ob(C),Hom(C) がともに集合であるような圏 CC を 小さい圏 と呼ぶ。
C上の前層

反変関手 P:C→SetP:C→Set を CC 上の前層 と呼ぶ。

※ 米田の補題の記事では関手と同じ FF で表現していたが、他の方の記事を読んでいるとどうも Presheaf（前層）の頭文字をとって PP を使うことが多いようなので、この記事もそれに従う。
→ （追記） 米田の補題の記事内、FF を PP に修正

表現可能関手

X∈Ob(C)X∈Ob(C) に対し 反変関手
HomC(?,X):C→Set
HomC(?,X):C→Set

及び共変関手
HomC(X,?):C→Set
HomC(X,?):C→Set

を XX の表現可能関手と呼ぶ。ここでは反変関手の方のみ取り扱う。
米田の埋め込み定理より、 AA に HomC(?,A)HomC(?,A) を対応させる関手が元の圏 CC の構造を SetCopSetCop の中に埋め込む。このことを表現可能と言う（らしい。これの何が「表現可能」なのかは勉強不足でいまいちつかめていない。あとで補足するかもしれない。）

証明

どの空間での話なのかに注意する。特に、米田の補題 を使って自然変換 α:HomC(?,A)→Pα:HomC(?,A)→P と集合 PAPA の元 aa との同一視を多用する。

(引用終り)