昨日ふと思いついた3次方程式の新しい解法、というスレの1です
今度は4次方程式の解法について考えてみました
前回はぶっちゃけカルダノの解法と被っていましたが
今回は既存の解法とは大きく異なっていると思います
とりあえず聞いていただけますか？
0003１３２人目の素数さん2022/06/19(日) 06:59:59.45ID:nifR0kOf
代行ありがとうございます
0004１３２人目の素数さん2022/06/19(日) 07:35:19.90ID:nifR0kOf
0006１３２人目の素数さん2022/06/19(日) 21:00:10.80ID:3TMe3JeU
相反方程式を4次方程式全体に拡張？させています
つまりこの方法をたどれば4次方程式は相反方程式の形にすることができる、はずです
一次方程式の解法
a₁x+a₀=0、a₁≠0
x=-a₀/a₁
二次方程式の解法
a₂x²+a₁x+a₀=0、a₂≠0
平方完成で、
(x+a₁/2a₂)²=(a₁²-4a₂a₀)/(2a₂)²
x=(-a₁±√(a₁²-4a₂a₀))/2a₂
三次方程式の解法
a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0、a₃≠0
立方完成で二次の係数を0にする。
(x+a₁/3a₂)³+(a₁/a₃-a₁²/3a₂²)x+(a₀/a₃-a₁³/(3a₂)³)=0
x+a₁/3a₂=yと変換してy³+py+q=0の形に出来る。
因数分解の公式
y³+u³+v³-3yuv=(y+u+v)(y+ωu+ω²v)(y+ω²u+ωv)と比較して
u³+v³=q、-3uv=p
s=u³, v³とすると
s²-qs-(p/3)³=0
s=q/2±√{(q/2)²+(p/3)³}
y=-u-v=³√(-q/2+√{(q/2)²+(p/3)³})+³√(-q/2-√{(q/2)²+(p/3)³})
-u-v, -ωu-ω²v, -ω²u-ωv
ω²+ω+1=0、x³+y³+z³-3xyz
=(x+y+z)(x+ωy+ω²z)(x+ω²y+ωz)
=(x+y+z)(x²+y²+z²−zx−xy−yz)
x²=a ⇔ x=Ω₁²√a, Ω₂²√a、Ω²=1
x³=a ⇔ x=ω₁³√a, ω₂³√a, ω₃³√a、ω³=1
四次方程式の解法
a₄x4+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0, a₄≠0
両辺をa₄で割ると
x4+Bx³+Cx²+Dx+E=0
y=x+B/4と置くと三次の係数が0になってy⁴+py²+qy+r=0の形になる。
q=0の時はyの複2次式で、z=y²と置くとz²+pz+r=0に帰着される。
q≠0の時, u≠0に対して
(y²+(p+u)/2)²-u(y-q/2u)²=0
三次分解方程式は
u(u+p)²-4ru-q²=0⇔
u³+2pu²+(p²-4r)u-q²=0
これを解いてuが求まる。u≠0
(y²+(p+u)/2)²-u(y-q/2u)²=0
F²-uG²=0⇔(F+√uG)(F-√uG)より
yの2次式の積に分解されるので解ける。
0011Mad Chemist2022/06/26(日) 16:19:13.48ID:6DbLGSdI
またスレ立てたんかね。
a・x^3 + b・x^2 + c・x + d = 0
a・x^4 + b・x^3 + c・x ^2 + d・x + e = 0
以上の方程式について
a 〜 d、又は a 〜 e の数値入れたら解が出てくるようなもん
エクセルかなんかでやれたかいな？
0013１３２人目の素数さん2022/07/01(金) 17:18:04.34ID:+xZoUlzO
皆さんレスありがとうございます
↑は少し検証不足でした…
「4次方程式は相反方程式にできる」ではなく
「4次方程式は複二次式または相反方程式にできる」というのが正しいです
0014１３２人目の素数さん2022/07/01(金) 17:19:53.72ID:+xZoUlzO