0001132人目の素数さん2017/05/01(月) 13:57:02.85ID:2R1M1qJO
Aが有限数の要素を持つ集合であれば、Aの要素数で定義される基数をn(A)とする。AとBが任意の有限集合である場合は、次のことを証明せよ
(1) n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
(2) n(A\B)=n(A)-n(A∩B)
まじで助けてくれ
n( ) については、式に登場する集合の個数が
少なければ、便図を書いて考えるのが簡単。
以下の話を、自分で便図を書きながら聞いて欲しい。
n( ) を数式的に処理するには、
共通部分がない集合については加法的、つまり
集合XとYが重ならない ⇒ n(X∪Y)=n(X)+n(Y)
であることを使う。特に、便図上
内部が分割されてないような領域で表される
集合どうしの要素数は、単純に足し算できる。
それを使って、
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B) …[1],
n(A)=n(A\B)+n(A∩B) …[2],
n(B)=n(B\A)+n(A∩B) …[3] と書ける。
A\B は、A∩(not B) を表す記号。
A\B と B\A が便図上のどこになるか、
是非、塗り絵をして確認を。
[2]を変形して、(2)になる。
n(A\B)=n(A)-n(A∩B).
[3]も同じように
n(B\A)=n(B)-n(A∩B).
このふたつを[1]へ代入して
n(A\B)とn(B\A)を消せば、(1)になる。
n(A∪B)=n(A\B)+n(B\A)+n(A∩B)
=[n(A)-n(A∩B)]+[n(B)-n(A∩B)]+n(A∩B)
=n(A)+n(B)-n(A∩B).
0005132人目の素数さん2017/05/02(火) 10:19:03.65ID:D6gPzTPT
>>3-4
基数って言葉使ってる時点で大学の集合論での証明が必要って気づけよ
そんな高校生みたいな塗り絵の説明されなくたって誰だって分かるわ 大学の期末レベルの回答で良いなら帰納法でなんとかなる
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