周の長さが一定の四角形(長方形以外も含む)はどうしたら面積が最大になるの? [無断転載禁止]©2ch.net

1132人目の素数さん2016/12/19(月) 23:38:53.82ID:yHsqJun3
周の長さが一定の長方形は正方形のときに面積が最大だろ?四角形全体の場合はどうなるんだよ

12◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:29:48.98ID:W0M90ObI

13◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:30:04.89ID:W0M90ObI

14◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:30:21.43ID:W0M90ObI

15◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:30:37.10ID:W0M90ObI

16◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:30:55.26ID:W0M90ObI

17◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:31:14.08ID:W0M90ObI

18◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:31:30.07ID:W0M90ObI

19◆2VB8wsVUoo 2016/12/20(火) 22:31:46.01ID:W0M90ObI

20132人目の素数さん2016/12/25(日) 23:26:36.89ID:HgkzhkFu
>>3 を少し一般化すると、

〔補題〕
「2辺の長さが a, b である△の面積は ab/2 以下(等号成立は直角凾フとき)」

(略証)
△の面積は(底辺)・(高さ)/2 だから、・・・

これを使うと、
◇ABCD = △ABC + △CDA ≦ (ab+cd)/2,
◇ABCD = △BCD + △DAB ≦ (bc+da)/2,
たして2で割ると
◇ABCD ≦ (a+c)(b+d)/4,
 等号成立は長方形のとき。

ここで相乗-相加平均より
(a+c)(b+d) ≦ {(a+b+c+d)/2}^2,
 等号成立は a+c=b+d のとき。

∴ ◇ABCD ≦ {(a+b+c+d)/4}^2
 等号成立は、長方形かつ a+c=b+d、即ち 正方形のとき。

21132人目の素数さん2016/12/26(月) 00:30:42.52ID:Mf/4LXM8
>>4
> 頂点 A,C を固定して AB + BC = 一定 のもとで B を動かすと…

これは四角形に限らず一般の多角形にも使えそうです。

22◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 02:08:58.45ID:P7KkK7Ue

23◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:26:41.70ID:P7KkK7Ue

24◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:26:56.81ID:P7KkK7Ue

25◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:27:12.86ID:P7KkK7Ue

26◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:27:27.81ID:P7KkK7Ue

27◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:27:44.95ID:P7KkK7Ue

28◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:28:02.95ID:P7KkK7Ue

29◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:28:19.78ID:P7KkK7Ue

30◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:28:36.44ID:P7KkK7Ue

31◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 03:28:53.59ID:P7KkK7Ue

32132人目の素数さん2016/12/26(月) 06:28:03.83ID:oaNh/qe+
相加平均≧相乗平均でほぼ自明じゃないのか

33◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 08:12:57.90ID:P7KkK7Ue

34132人目の素数さん2016/12/26(月) 12:03:40.82ID:1+zDpADD
>>20
その証明は正しいし, 初等幾何的で簡潔ですばらしいが,
◇ABCD ≦ (a+c)(b+d)/4,  等号成立は長方形のとき。
の時点で長方形の場合が面積が最大となることが自明ではないことが気持ち悪い.

というのも長方形は角度だけでなく長さにも制約(a=c, b=d)が出てくるので,
(a+c)(b+d)/4を最大化するa,b,c,dの組が長方形を為せるとは限らない.

たとえば(2a+b+c+d=4s)の拘束のもとでは, (a+c)(b+d)はa=0,b+d=c=2sのもとで
最大になるだろうが, これは長方形を為せる組ではない.

35◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:45:28.08ID:P7KkK7Ue

36◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:45:46.51ID:P7KkK7Ue

37◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:46:05.99ID:P7KkK7Ue

38◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:46:25.20ID:P7KkK7Ue

39◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:46:41.69ID:P7KkK7Ue

40◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:47:00.35ID:P7KkK7Ue

41◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:47:19.59ID:P7KkK7Ue

42◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:47:40.78ID:P7KkK7Ue

43◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:48:01.23ID:P7KkK7Ue

44◆2VB8wsVUoo 2016/12/26(月) 12:48:22.95ID:P7KkK7Ue

45132人目の素数さん2016/12/27(火) 07:06:08.23ID:T1Hn0uqH
>>2 のようにHeronの公式を使うなら、>>32 のとおりです。
(Heronの公式をどう示すか...)

>>4
> 頂点 A,C を固定して AB+BC = 一定 のもとで B を動かすと
> B は A,C を焦点とする楕円上にあるので
(これをどう示すか...)

46132人目の素数さん2016/12/27(火) 07:40:27.66ID:T1Hn0uqH
>>4 >>21
デカルト流で
 A(-c,0) B(x,y) C(c,0)
とおくと、
 AB + BC = √{(x+c)^2 + y^2} + √{(x-c)^2 + y^2} = 2L,
 (L>c>0)
これより
 (x/L)^2 + y^2/(LL-cc) = 1  (楕円)
ACからの高さ|y|が最大になるのはx=0 のとき、すなわち AB=BC,
ですね。

47132人目の素数さん2016/12/29(木) 16:53:38.07ID:g/epfTbT
>>34
正方形以外で等号が成立する可能性を排除できぬ?

48132人目の素数さん2017/01/04(水) 05:27:23.62ID:F1JEFz8G
〔ラングレーの問題〕
凸4角形BCEDについて、
∠B=4θ、∠C=120°−2θ、∠EBC=3θ、∠DCB=90°−2θ(15゚<θ<30゚)
である。∠DEBを求めよ。

(元の問題ではθ=20°ですが、少し拡張しました。)

49132人目の素数さん2017/01/04(水) 05:34:39.57ID:F1JEFz8G
>>48 のヒント

 辺CE上に∠DBF=60°となる点Fをとる。

50132人目の素数さん2018/01/28(日) 03:13:46.21ID:ru4HDAPy
>>48

∠DBCの二等分線と直線CEの交点をFとすれば
(1/2)∠B + ∠C = 120°より∠BFC = 60°
∠DCE = 30°よりCDとBFは垂直で、内角の二等分線であることからBD=BC, ∠DBF=∠CBF
これと∠B = 4θ = 4∠DBE から∠DBE=∠FBE
また、対称性から∠DFB = ∠CFB = 60°であり∠DFE = 60°
よって直線EFは∠DFBの外角の二等分線であり
点Eは△DBFの傍心の1つ
よって ∠DEB =(1/2)∠DFB = 30°

最後に補題
 点Eが△DBFの傍心のとき、∠DEB =(1/2)∠DFB
を使いました。

面白スレ24 686-691

51◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:39:59.61ID:I+Mybrk/

52◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:40:16.35ID:I+Mybrk/

53◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:40:31.03ID:I+Mybrk/

54◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:41:06.52ID:I+Mybrk/

55◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:41:25.54ID:I+Mybrk/

56◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:41:48.18ID:I+Mybrk/

57◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:42:05.52ID:I+Mybrk/

58◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:42:22.48ID:I+Mybrk/

59◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:42:41.95ID:I+Mybrk/

60◆2VB8wsVUoo 2018/04/06(金) 11:43:03.37ID:I+Mybrk/

61132人目の素数さん2018/08/10(金) 03:48:45.46ID:MxWQLJMW
〔次の問題〕
一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ。
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532824890/

62イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/14(火) 01:10:55.27ID:MFgI4XXz
>>61カブトガニが最小で落ちついたはず。
カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路は、
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.8911568225

新着レスの表示
レスを投稿する