ワイこれから大学生何予習すればいい？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 02:16:42.29

今線形代数ちょっとやってるけど後何かやっといた方がいいことある？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 02:38:55.45

算数

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/12(金) 05:48:59.13

悔いの残らないように思いっきり遊べばいいよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 21:56:48.40

以下、VはR上の有限次元ベクトル空間とする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 21:57:48.04

Def:
内部自己準同型I: V → Vが、"Vの概複素構造"であるとは、

I^2 = -id

を満たすことである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 22:11:05.86

Ex:
VがC上のベクトル空間でもあるなら、

v → iv

をR線形写像と見ると概複素構造になる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 22:13:18.51

Lemma:
I: V → Vは概複素構造とする。このとき、Vは自然にC上のベクトル空間になる。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 22:20:52.01

>>7
Proof:
a, b∈R, v∈Vに対して

(a + bi)v := av + bI(v)

と定める。スカラー倍の結合律を示す。

(a + bi)((c + di)v)
= (a + bi)(cv + dI(v))
= acv + adI(v) + bcI(v) - bdv
= (ac - bd)v + (ad + bc)I(v)
= ((a + bi)(c + di))v。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 22:21:50.16

Cor:
Vが概複素構造を持てば、VはR上偶数次元である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 22:23:37.36

>>5
訂正:
> 内部自己準同型I: V → Vが、
自己準同型I: V → Vが、

余計な単語がくっついていました

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 23:00:49.31

Cor:
概複素構造I: V → VはVの自然な向き付けを誘導する。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/23(火) 23:09:33.33

>>11
Proof:
>>7より、VはCベクトル空間としてC^n (2n = dim(V))と同型であり、IはC^nの向きを保つから、VにはC^nの標準基底から定まる向きが誘導される。□

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/24(水) 00:08:23.66

よく分からなかったので補足した。

Vを2n次元Rベクトル空間
I: V → VをVの概複素構造

>>7より、VはCベクトル空間として、C^nと同型。
b_1, ..., b_nをVのCベクトル空間としての基底とする。
b_1, I(b_1), ..., b_n, I(b_n)はVのRベクトル空間としての基底。

Cベクトル空間の別の基底b'_1, ..., b'_nを取ったとする。
b' = (b'_1, I(b'_1), ..., b'_n, I(b'_n))とb = (b_1, I(b_1), ..., b_n, I(b_n))が同じ向きであることを示す。

A∈GL(n, C)があって、b' = bAとなっている。

Aは行の基本変形で単位行列になるから、(1)b_iの複素数倍、(2)b_iとb_jの入れ替え、(3)b_iをb_i + b_jで置き換える操作で向きが保たれることを示せば良い。

(1)
n = 1の場合に示せば十分
0でない複素数z = c + di (c, d∈R)があって、b' = zbとなっている。

b'∧Ib'
= (cb + dIb)∧ (-db + cIb)
= (c^2 + d^2) b∧Ib

c^2 + d^2 > 0なので、(b', Ib')と(b, Ib)は同じ向き。

(2)
i < jとする。
... ∧ b_j ∧ Ib_j ∧ ... ∧ b_i ∧ Ib_i ∧ ...
= (-1)^4(j-i) ... ∧ b_i ∧ Ib_i ∧ ... ∧ b_j ∧ Ib_j ∧ ...
= b_1 ∧ Ib_1 ∧ ... ∧ b_n ∧ Ib_n

(3)
b_jが2つ現れる項は消えるから、(2)に帰着される。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/24(水) 00:12:28.81

(2)に帰着じゃない。自明

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/24(水) 16:14:00.54

>>13
ありがとうございます。
私が完全に勘違いしてました。
その議論で合っていると思います。