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ゴビゴビの内訳が、シンクそのものの細かな傷だったら素人にはアウトだけど
水道水の成分によるアルカリ性の汚れなら、
レモンの切れ端とか酢とかクエン酸(粉末を薬局で売ってる)。

重曹はアルカリ性なので、脂などの酸性の汚れに効くだけ。
研磨剤としての効果もあるけど、汚れの頑固さに負けたら効かない。
「酢の力で汚れを落とす!」みたいな宣伝してる洗剤試してみて。

化学的に溶かせない、物理的にがっちりこびりついてる汚れの場合
研磨剤との固さ勝負になる。
シンクに傷つけないよう、シンクより柔らかく、汚れよりは固いものでこする。
激落ちくんとかメラミンスポンジ、それで駄目ならサンドペーパーみたいな。