解答。
4：
(1) 1以外にaも単位元であるとする。
1は単位元なので1a=a、
aは単位元なので1a=1。
よってa=1となり一意性が示された。
(2)bとcがaの逆元であるとすると、
b=a^-1=cより、一意性が示された。
(3) (ab)^-1=(b^-1 a^-1)×ab=b^-1×b=1。
よって (ab)^-1=b^-1 a^-1である。
(4)a×a^-1=1より、(a^-1)^-1=a。
5：Aは環なので、+に関して可換群であり、積の結合法則が成り立ち、分配法則が成り立ち、+に関する単位元0と×に関する単位元1があるから、
(1)∀a∈A→0a+0a=(0+0)a=0a。よって0a=0。
∀a∈A→a0+a0=a(0+0)=a0。よってa0=0。
(2)1=0 → ∀a∈Aに対してa=1a、0=0a、1a=0a。
よってa=0。すなわち自明な環(零環)である。

6：定義によりZ/nZ={0', 1', 2', …, (n-1)'}。
・x'=x+ns、0'=0+ntと置けて、
x'+0'=x+n(s+t)=x'より、x'+' 0'=x'。
よって、0'は+'に関する単位元である。

以下も同様に示せる。
・×'に関する単位元は1'
・+'に関する逆元はx'に対して(n-x)'
・+'に関する結合法則。
・×'に関する結合法則。
・+', ×'に関する交換法則。
・+', ×'に関する分配法則。